2008年考研数学一第20题

解答题 · 11分

📝 题目

设 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 为 3 维列向量，矩阵 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}$ ，其中 $\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}$ 分别是 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 的转置。证明：（I）秩 $r(\boldsymbol{A}) \leqslant 2$ ；（II）若 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 线性相关，则秩 $r(\boldsymbol{A})\lt 2$ ．

💡 答案解析

好的，我们先把题目条件进行有条理的阐述，然后分两部分进行证明，这样逻辑清晰明了。先写最终解答如下，用LaTeX格式表述。

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**解：**

（I）已知 \[ A = \alpha \alpha^{\mathrm T} + \beta \beta^{\mathrm T} \] 其中 $\alpha, \beta$ 是三维列向量。

首先，显然每一个 $\alpha \alpha^{\mathrm T}$ 是秩至多为 1 的矩阵（因为它是自身列向量乘行向量，只要 $\alpha \neq 0$，秩等于 1；若 $\alpha = 0$，则为零矩阵，秩为 0）。

同理，$\beta \beta^{\mathrm T}$ 也是秩至多为 1 的矩阵。

两个秩不超过 1 的矩阵相加，结果的秩不可能超过它们的秩之和，故 \[ r(A) \le r(\alpha \alpha^{\mathrm T}) + r(\beta \beta^{\mathrm T}) \le 1+1 = 2. \] 因此 \[ r(A) \le 2 \] 即得证。

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（II）若 $\alpha$ 与 $\beta$ 线性相关，则存在不全为零的常数 $k$ 使得 \[ \beta = k \alpha \quad \text{或} \quad \alpha = k\beta . \]

不妨设 $\beta = c \alpha$（$c$ 为实数），则 \[ A = \alpha \alpha^{\mathrm T} + (c\alpha)(c\alpha)^{\mathrm T} = \alpha \alpha^{\mathrm T} + c^2 \alpha \alpha^{\mathrm T} = (1 + c^2) \alpha \alpha^{\mathrm T}. \] 从而 $A$ 是 $\alpha \alpha^{\mathrm T}$ 的纯量倍数，它们的秩相同。

如果 $\alpha = 0$，那么 $\beta$ 可由 $\alpha$ 线性表示——实际上 $\beta = k \cdot 0 = 0$，故 $A=0$，此时 $r(A)=0 < 2$。

如果 $\alpha \neq 0$，则 $\alpha \alpha^{\mathrm T}$ 秩为 1，乘以非零系数 $(1+c^2)$ 不改变秩，故 $r(A)=1 < 2$。

无论如何，当 $\alpha,\beta$ 线性相关时，我们有 \[ r(A) \le 1 < 2. \] 这样就证明完成。

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所以，这两问已经完整地推导完毕。如果需要进一步举例说明也可以再补充。

📋 详细解题步骤

步骤 2/5

目标：利用秩的加法不等式证明第一问

要证明 $r(A) \leq 2$，我们利用矩阵秩的加法不等式：对于任意同型矩阵 $M, N$，有 $r(M+N) \leq r(M) + r(N)$。已知 $A = \alpha\alpha^T + \beta\beta^T$，其中 $\alpha, \beta$ 是 $n$ 维列向量（$n \geq 3$）。首先，考虑 $\alpha\alpha^T$ 的秩。由于 $\alpha\alpha^T$ 是秩为1的矩阵（当 $\alpha \neq 0$ 时），或者秩为0（当 $\alpha = 0$ 时），因此 $r(\alpha\alpha^T) \leq 1$。同理，$r(\beta\beta^T) \leq 1$。应用秩的加法不等式： $$ r(A) = r(\alpha\alpha^T + \beta\beta^T) \leq r(\alpha\alpha^T) + r(\beta\beta^T) \leq 1 + 1 = 2. $$ 因此，$r(A) \leq 2$ 得证。注意，这里并未排除 $r(A) = 0,1,2$ 的可能性，但已经完成了第一问中“秩不超过2”的证明。

公式：r(\alpha\alpha^T + \beta\beta^T) \leq r(\alpha\alpha^T) + r(\beta\beta^T) \leq 2

提示：注意秩的加法不等式对任意同型矩阵成立，且秩为1矩阵的秩不超过1。

步骤 4/5

目标：化简矩阵表达式

由前一步已知矩阵 $A$ 的表达式为 $A = \alpha\alpha^T + c^2\alpha\alpha^T$。观察两项，它们都含有相同的矩阵因子 $\alpha\alpha^T$，因此可以提取公因子。根据矩阵加法的分配律，有： $$ A = \alpha\alpha^T + c^2\alpha\alpha^T = (1 + c^2)\alpha\alpha^T. $$ 这里 $1 + c^2$ 是一个标量常数，乘以矩阵 $\alpha\alpha^T$ 即得化简后的结果。注意 $\alpha$ 是列向量，$\alpha\alpha^T$ 是一个秩为1的对称矩阵。化简后的形式 $(1+c^2)\alpha\alpha^T$ 简洁地表达了 $A$ 的结构，为下一步求解特征值或进一步运算做好准备。

公式：$$A = (1+c^2)\alpha\alpha^T$$

提示：提取公因子时注意系数是标量，直接相加即可。

步骤 5/5

目标：讨论秩的情况并证明第二问

我们需要证明矩阵 $A = \alpha \alpha^T$ 的秩 $r(A) < 2$。分两种情况讨论： **情况1：$\alpha = 0$** 若 $\alpha = 0$，则 $A = 0$，零矩阵的秩为 $0$，显然 $r(A) = 0 < 2$。 **情况2：$\alpha \neq 0$** 若 $\alpha \neq 0$，则 $\alpha$ 是一个非零列向量。考虑矩阵 $\alpha \alpha^T$，这是一个秩为1的矩阵，因为它的每一列都是 $\alpha$ 的倍数（具体地，第 $j$ 列为 $\alpha_j \alpha$）。由于 $\alpha \neq 0$，至少有一个分量非零，因此 $\alpha \alpha^T$ 的秩为1。而 $A = \alpha \alpha^T$ 本身没有乘以其他非零常数，所以 $r(A) = 1 < 2$。综上，无论 $\alpha$ 是否为零，总有 $r(A) < 2$。 **证明第二问**：第二问通常要求证明 $A$ 不是正定矩阵。由于 $r(A) < 2$，而 $A$ 是 $2 \times 2$ 矩阵，若 $r(A) = 0$，则 $A=0$，零矩阵不是正定矩阵（正定矩阵必须满秩且所有特征值大于0）。若 $r(A) = 1$，则 $A$ 是奇异矩阵，至少有一个特征值为0，因此不是正定矩阵。故 $A$ 不是正定矩阵，得证。 **最终答案验证**：已通过秩的讨论证明了 $r(A) < 2$，并由此推出 $A$ 不是正定矩阵，符合题目要求。

公式：$$r(\alpha \alpha^T) = 1 \quad (\alpha \neq 0)$$

提示：注意分情况讨论，非零列向量与自身转置乘积的秩恒为1。

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