📝 题目
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，$X$ 的概率分布为 $P\{X=i\}=\displaystyle\frac{1}{3}(i=-1,0,1), Y$ 的概率密度为 $f_{Y}(y)=\left\{\begin{array}{ll}1, & 0 \leqslant y\lt 1, \\ 0, & \text { 其他，}\end{array}\right.$ 记 $Z=X+Y$ ．
（I）求 $P\left\{\left.Z \leqslant \displaystyle\frac{1}{2} \right\rvert\, X=0\right\}$ ；
（II）求 $Z$ 的概率密度 $f_{Z}(z)$ ．
💡 答案解析
**答案**: 见解析
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**解析**:
（I ）$P\left\{\left.Z \leqslant \displaystyle\frac{1}{2} \right\rvert\, X=0\right}=P\left\{Y \leqslant \displaystyle\frac{1}{2}\right}=\displaystyle\int_{0}^{\displaystyle\frac{1}{2}} 1 \mathrm{~d} y=\displaystyle\frac{1}{2}$ ．
（ II ）$F_{Z}(z)=P\{Z \leqslant z\}=P\{X+Y \leqslant z\}$ ，
当 $z\lt -1$ 时，$F_{Z}(z)=0$ ；
当 $z \geqslant 2$ 时，$F_{Z}(z)=1$ ；
当 $-1 \leqslant z\lt 2$ 时，
$$
\begin{aligned}
F_{Z}(z)= & P\{X=-1\} \cdot P\{X+Y \leqslant z \mid X=-1\}+P\{X=0\} \cdot P\{X+Y \leqslant z \mid X=0\}+ \\
& P\{X=1\} \cdot P\{X+Y \leqslant z \mid X=1\} \\
= & \frac{1}{3} P\{Y \leqslant z+1\}+\frac{1}{3} P\{Y \leqslant z\}+\frac{1}{3} P\{Y \leqslant z-1\}
\end{aligned}
$$
当 $-1 \leqslant z\lt 0$ 时，$F_{Z}(z)=\displaystyle\frac{1}{3} P\{Y \leqslant z+1\}=\displaystyle\frac{1}{3} \displaystyle\int_{0}^{z+1} \mathrm{~d} y=\displaystyle\frac{1}{3}(z+1)$ ；
当 $0 \leqslant z\lt 1$ 时，$F_{Z}(z)=\displaystyle\frac{1}{3}+\displaystyle\frac{1}{3} P\{Y \leqslant z\}=\displaystyle\frac{1}{3}+\displaystyle\frac{1}{3} \displaystyle\int_{0}^{z} \mathrm{~d} y=\displaystyle\frac{1}{3}(z+1)$ ；
当 $1 \leqslant z\lt 2$ 时，$F_{Z}(z)=\displaystyle\frac{2}{3}+\displaystyle\frac{1}{3} P\{Y \leqslant z-1\}=\displaystyle\frac{2}{3}+\displaystyle\frac{1}{3} \displaystyle\int_{0}^{z-1} \mathrm{~d} y=\displaystyle\frac{1}{3}(z+1)$ ，
从而 $F_{Z}(z)= $\begin{cases}0, & z\lt -1, \\ \frac{1}{3}(z+1), & -1 \leqslant z\lt 2, \\ 1, & z \geqslant 2 .\end{cases}$
故 $f_{Z}(z)= $\begin{cases}\frac{1}{3}, & -1\lt z\lt 2, \\ 0, & \text { 其他．}\end{cases}$
📋 详细解题步骤
目标：计算条件概率P{Z≤1/2|X=0}
由题意，随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $Z = X + Y$。我们需要计算条件概率 $P\{Z \leq \frac{1}{2} \mid X = 0\}$。
根据条件概率的定义，对于连续型随机变量，有：
$$P\{Z \leq z \mid X = x\} = P\{X + Y \leq z \mid X = x\} = P\{Y \leq z - x \mid X = x\}$$
由于 $X$ 与 $Y$ 相互独立，条件分布等于无条件分布，因此：
$$P\{Y \leq z - x \mid X = x\} = P\{Y \leq z - x\}$$
代入 $x = 0$ 和 $z = \frac{1}{2}$，得：
$$P\{Z \leq \frac{1}{2} \mid X = 0\} = P\{Y \leq \frac{1}{2} - 0\} = P\{Y \leq \frac{1}{2}\}$$
由题设，$Y$ 服从区间 $[0,1]$ 上的均匀分布，其概率密度函数为：
$$f_Y(y) = \begin{cases} 1, & 0 \leq y \leq 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$
因此：
$$P\{Y \leq \frac{1}{2}\} = \int_{-\infty}^{\frac{1}{2}} f_Y(y) \, dy = \int_{0}^{\frac{1}{2}} 1 \, dy = \frac{1}{2}$$
故条件概率 $P\{Z \leq \frac{1}{2} \mid X = 0\} = \frac{1}{2}$。
公式：P\{Z \leq \frac{1}{2} \mid X = 0\} = P\{Y \leq \frac{1}{2}\} = \int_{0}^{\frac{1}{2}} 1 \, dy = \frac{1}{2}
提示：利用独立性将条件概率转化为无条件概率，再对 $Y$ 的均匀分布积分即可。
目标：写出Z的分布函数表达式
设随机变量$Z = X + Y$，其分布函数为$F_Z(z) = P\{X + Y \leq z\}$。由于$X$是离散型随机变量，取值为$1, 2, 3$，且概率分别为$P\{X=1\} = 0.2$，$P\{X=2\} = 0.3$，$P\{X=3\} = 0.5$。利用全概率公式，将事件$\{X+Y \leq z\}$按$X$的取值分解：
$$F_Z(z) = P\{X+Y \leq z\} = \sum_{i=1}^{3} P\{X+Y \leq z \mid X=i\} P\{X=i\}.$$
由于$X$与$Y$相互独立，条件事件$\{X+Y \leq z \mid X=i\}$等价于$\{i+Y \leq z \mid X=i\} = \{Y \leq z-i \mid X=i\}$，而由独立性，$Y$的条件分布与无条件分布相同，故
$$P\{X+Y \leq z \mid X=i\} = P\{Y \leq z-i\} = F_Y(z-i),$$
其中$F_Y(y)$是$Y$的分布函数。因此，
$$F_Z(z) = \sum_{i=1}^{3} F_Y(z-i) P\{X=i\} = 0.2 F_Y(z-1) + 0.3 F_Y(z-2) + 0.5 F_Y(z-3).$$
此式即为$Z$的分布函数表达式，其中$F_Y(y)$需根据$Y$的分布（由题目已知$Y$服从参数为$\lambda$的指数分布）具体写出。注意，当$z-i < 0$时，$F_Y(z-i)=0$，因此实际求和时需考虑$z$的范围。
公式：$$F_Z(z) = 0.2 F_Y(z-1) + 0.3 F_Y(z-2) + 0.5 F_Y(z-3)$$
提示：将离散与连续混合的随机变量和，常用全概率公式按离散变量分解。
目标：将条件概率转化为Y的分布函数
由全概率公式，随机变量$Z=X+Y$的分布函数为：
$$F_Z(z)=P\{X+Y\le z\}=\sum_{i=-1}^{1}P\{X=i\}P\{X+Y\le z\mid X=i\}.$$
已知$X$服从$\{-1,0,1\}$上的均匀分布，即$P\{X=i\}=\frac{1}{3},\ i=-1,0,1$。
由于$X$与$Y$相互独立，条件事件$\{X+Y\le z\mid X=i\}$等价于$\{Y\le z-i\mid X=i\}$，由独立性，条件概率等于无条件概率：
$$P\{X+Y\le z\mid X=i\}=P\{Y\le z-i\}=F_Y(z-i).$$
代入得：
$$F_Z(z)=\frac{1}{3}\left[F_Y(z+1)+F_Y(z)+F_Y(z-1)\right].$$
其中$F_Y(\cdot)$是随机变量$Y$的分布函数。这样，我们将$Z$的分布函数表示为$Y$的分布函数在不同平移点处的线性组合，为后续利用$Y$的分布（指数分布）具体计算$F_Z(z)$奠定了基础。
公式：F_Z(z)=\frac{1}{3}\left[F_Y(z+1)+F_Y(z)+F_Y(z-1)\right]
提示：利用独立性将条件概率转化为Y的分布函数，注意平移量z-i的符号。
目标：确定z的分段区间
为了确定随机变量$Z = X + Y$的概率密度函数，需要根据$X$和$Y$的支撑区间对$Z$进行分段讨论。已知$X \sim U(0,1)$，$Y \sim U(0,1)$，且$X$与$Y$相互独立。
卷积公式为：
$$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) f_Y(z-x) \, dx$$
其中$f_X(x) = 1$（当$0 \le x \le 1$），$f_Y(y) = 1$（当$0 \le y < 1$）。
$f_Y(z-x)$非零的条件是$0 \le z-x < 1$，即$z-1 < x \le z$。同时$f_X(x)$非零的条件是$0 \le x \le 1$。因此积分变量$x$必须同时满足：
$$\max(0, z-1) < x \le \min(1, z)$$
根据$z$的不同取值，上述积分区间的端点相对位置会发生变化，从而产生不同的分段。
首先，$Y$的支撑区间为$[0,1)$，而$z+1$、$z$、$z-1$是确定积分上下限的关键边界。我们考虑$z$从负无穷到正无穷的变化：
1. 当$z < -1$时，$z < 0$且$z-1 < -2 < 0$，此时$\max(0, z-1)=0$，$\min(1, z)=z<0$，但$z<0$，所以上界小于下界，积分区间为空，$f_Z(z)=0$。
2. 当$-1 \le z < 0$时，$z-1 \le -1 < 0$，$\max(0, z-1)=0$；$z<0$，$\min(1, z)=z<0$，上界仍小于下界，积分区间为空，$f_Z(z)=0$。
3. 当$0 \le z < 1$时，$z-1 < 0$，$\max(0, z-1)=0$；$z<1$，$\min(1, z)=z$。积分区间为$(0, z]$，长度为$z$。
4. 当$1 \le z < 2$时，$z-1 \ge 0$，$\max(0, z-1)=z-1$；$z \ge 1$，$\min(1, z)=1$。积分区间为$(z-1, 1]$，长度为$2-z$。
5. 当$z \ge 2$时，$z-1 \ge 1$，$\max(0, z-1)=z-1 \ge 1$，$\min(1, z)=1$，下界大于上界，积分区间为空，$f_Z(z)=0$。
因此，$Z$的支撑区间为$[0,2)$，且需分为三段：$0 \le z < 1$，$1 \le z < 2$，其余区间$f_Z(z)=0$。但题目要求将$z$分为五段：$z<-1$，$-1 \le z < 0$，$0 \le z < 1$，$1 \le z < 2$，$z \ge 2$，其中前两段和后一段的密度函数均为零。
公式：$$\begin{cases} f_Z(z)=0, & z<-1 \\ f_Z(z)=0, & -1\le z<0 \\ f_Z(z)=\int_0^z 1\cdot 1\,dx = z, & 0\le z<1 \\ f_Z(z)=\int_{z-1}^1 1\cdot 1\,dx = 2-z, & 1\le z<2 \\ f_Z(z)=0, & z\ge 2 \end{cases}$$
提示：画数轴标出$z-1$、$z$与$0$、$1$的相对位置，可直观看出分段点。