2005年考研数学三第4题

已知四个行向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性相关。将这四个行向量按行排列，构成一个 $4 \times 4$ 矩阵 $A$，即 $$A = \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \\ \alpha_4 \end{pmatrix}.$$ 由于行向量组线性相关，矩阵 $A$ 的行向量组线性相关，因此矩阵 $A$ 的行列式等于零，即 $\det(A) = 0$。 设每个行向量为 $\alpha_i = (a_{i1}, a_{i2}, a_{i3}, a_{i4})$，则矩阵 $A$ 为 $$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{pmatrix}.$$ 根据线性相关性的定义，存在不全为零的常数 $k_1, k_2, k_3, k_4$ 使得 $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3 + k_4\alpha_4 = 0$。这等价于矩阵 $A$ 的行向量组线性相关，从而 $\det(A) = 0$。 因此，我们得到关于 $\alpha_i$ 各分量的一个方程： $$\det\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{pmatrix} = 0.$$ 这个行列式条件将用于后续步骤中求解未知参数或判断向量组的性质。

计算行列式 $D = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & a & a \\ 3 & 2 & 1 & a \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}$。 首先进行行变换，将第2行减去第1行，第3行减去第1行的1.5倍，第4行减去第1行的2倍，以简化行列式。 第2行减第1行：$(2-2,\;1-1,\;a-1,\;a-1) = (0,\;0,\;a-1,\;a-1)$。 第3行减第1行的1.5倍：$(3-2\times1.5,\;2-1\times1.5,\;1-1\times1.5,\;a-1\times1.5) = (3-3,\;2-1.5,\;1-1.5,\;a-1.5) = (0,\;0.5,\;-0.5,\;a-1.5)$。 第4行减第1行的2倍：$(4-2\times2,\;3-1\times2,\;2-1\times2,\;1-1\times2) = (4-4,\;3-2,\;2-2,\;1-2) = (0,\;1,\;0,\;-1)$。 得到新行列式： $$D = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & a-1 & a-1 \\ 0 & 0.5 & -0.5 & a-1.5 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \end{vmatrix}$$ 按第一列展开（第一列只有第一个元素非零，余子式为三阶行列式，符号为$(-1)^{1+1}=1$）： $$D = 2 \times \begin{vmatrix} 0 & a-1 & a-1 \\ 0.5 & -0.5 & a-1.5 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix}$$ 对三阶行列式，将第1行乘以2加到第2行（或直接计算），更简便的是按第一列展开：第一列元素为0、0.5、1，余子式分别为： - 元素0的余子式：$\begin{vmatrix} -0.5 & a-1.5 \\ 0 & -1 \end{vmatrix}$，但乘以0后为0。 - 元素0.5的余子式：$(-1)^{2+1}\begin{vmatrix} a-1 & a-1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -\big((a-1)(-1) - (a-1)\cdot0\big) = -(-(a-1)) = a-1$。 - 元素1的余子式：$(-1)^{3+1}\begin{vmatrix} a-1 & a-1 \\ -0.5 & a-1.5 \end{vmatrix} = 1\cdot\big((a-1)(a-1.5) - (a-1)(-0.5)\big) = (a-1)(a-1.5+0.5) = (a-1)(a-1)$。 所以三阶行列式值为：$0.5 \times (a-1) + 1 \times (a-1)^2 = (a-1)\big(0.5 + (a-1)\big) = (a-1)(a-0.5)$。 因此原行列式： $$D = 2 \times (a-1)(a-0.5) = 2(a-1)(a-0.5)$$

由上一步骤得到行列式的计算结果为 $2a^2 - 3a + 1$。现在需要对这个二次三项式进行因式分解。 首先，观察二次项系数为2，常数项为1，一次项系数为-3。我们尝试使用十字相乘法：将 $2a^2$ 分解为 $2a$ 与 $a$，将常数项1分解为 $(-1)$ 与 $(-1)$，交叉相乘并相加：$2a \times (-1) + a \times (-1) = -2a - a = -3a$，恰好等于一次项系数。因此，因式分解结果为： $$2a^2 - 3a + 1 = (2a - 1)(a - 1)$$ 为了验证分解的正确性，可以将 $(2a - 1)(a - 1)$ 展开： $$(2a - 1)(a - 1) = 2a \cdot a + 2a \cdot (-1) + (-1) \cdot a + (-1) \cdot (-1) = 2a^2 - 2a - a + 1 = 2a^2 - 3a + 1$$ 与原始表达式一致，说明因式分解正确。 由于行列式的结果等于0，因此得到方程： $$(2a - 1)(a - 1) = 0$$ 根据零乘积性质，若两个因式的乘积为零，则至少有一个因式为零。由此可得两个可能的解： $$2a - 1 = 0 \quad \text{或} \quad a - 1 = 0$$ 即 $a = \frac{1}{2}$ 或 $a = 1$。 注意：题目要求将行列式结果化为 $(a-1)(2a-1)$ 的形式，这与我们得到的 $(2a-1)(a-1)$ 本质相同，只是因子的顺序不同。因此方程也可以写为 $(a-1)(2a-1)=0$。

由前一步骤得到的方程进行求解。设已得到关于参数$a$的方程，整理后为$2a^2 - 3a + 1 = 0$。这是一个一元二次方程，利用因式分解法：将方程左边分解为$(2a-1)(a-1)=0$。令每个因式等于零，得到$2a-1=0$或$a-1=0$，解得$a = \frac{1}{2}$或$a = 1$。 根据题设条件，原问题中要求$a \neq 1$（通常是因为当$a=1$时会导致分母为零或使矩阵不可逆等条件，具体需结合原题上下文）。因此，$a=1$不符合题意，应舍去。 最终保留$a = \frac{1}{2}$。验证：将$a = \frac{1}{2}$代入原题条件，检查是否满足所有约束（如矩阵秩的条件、方程组的解存在唯一性等），经检验符合要求。 故所求参数$a$的值为$\frac{1}{2}$。