2005年考研数学三第6题

已知随机变量$X$的分布律为：$P(X=1)=0.4$，$P(X=2)=a$，$P(X=3)=b$，$P(X=4)=0.1$。根据概率分布的基本性质，所有可能取值的概率之和必须等于1，即： $$0.4 + a + b + 0.1 = 1$$ 将常数项合并：$0.4 + 0.1 = 0.5$，因此方程化为： $$0.5 + a + b = 1$$ 移项得： $$a + b = 1 - 0.5 = 0.5$$ 所以$a$与$b$满足关系式$a+b=0.5$。这一关系将用于后续步骤中结合其他条件（如数学期望或方差）进一步确定$a$和$b$的具体数值。

根据题目给出的联合分布表，事件 $\{X=0\}$ 包含所有 $X=0$ 的行，即 $Y$ 取不同值时的概率之和。从表中可知，当 $X=0$ 时，$Y$ 的取值有 $Y=0$ 和 $Y=1$ 两种情形，对应的概率分别为 $0.4$ 和 $a$。因此，事件 $\{X=0\}$ 的概率为： $$P(X=0) = P(X=0, Y=0) + P(X=0, Y=1) = 0.4 + a.$$ 这里 $a$ 是未知参数，需要利用概率分布的性质（所有概率之和为1）在后续步骤中确定。本步骤仅完成概率表达式的建立。

事件 $\{X+Y=1\}$ 表示随机变量 $X$ 与 $Y$ 的和恰好等于 1。由于 $X$ 和 $Y$ 的取值均为 0 或 1，因此满足 $X+Y=1$ 的样本点只有两种可能： 1. $X=0$ 且 $Y=1$； 2. $X=1$ 且 $Y=0$。 根据题目已知的联合分布列（或表格），设 $P(X=0,Y=1)=a$，$P(X=1,Y=0)=b$。由于这两个事件互不相容（不可能同时发生），根据概率的加法公式，事件 $\{X+Y=1\}$ 的概率等于这两个互斥事件概率之和： $$P\{X+Y=1\}=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)=a+b.$$ 因此，本步骤的最终结果为 $a+b$。

我们需要计算事件 $\{X=0\}$ 与事件 $\{X+Y=1\}$ 同时发生的概率，即求 $P(\{X=0\} \cap \{X+Y=1\})$。 首先分析两个事件同时成立的条件： - 事件 $\{X=0\}$ 要求随机变量 $X$ 取值为 0。 - 事件 $\{X+Y=1\}$ 要求 $X$ 与 $Y$ 的和等于 1。 将 $X=0$ 代入 $X+Y=1$，得到 $0+Y=1$，即 $Y=1$。因此，两个事件同时发生等价于 $\{X=0, Y=1\}$。 根据题目已知条件，随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布中，$P(X=0, Y=1) = a$。这里 $a$ 是题目中给出的一个已知数值（通常由联合分布表或概率密度函数给出）。 因此，两事件交的概率为： $$ P(\{X=0\} \cap \{X+Y=1\}) = P(X=0, Y=1) = a. $$ 注意：在计算过程中，我们直接利用了联合分布中对应点的概率值，无需进行额外的积分或求和运算。该结果将用于后续步骤中计算条件概率或进一步分析。

由事件独立性条件，事件 $\{X=0\}$ 与 $\{X+Y=1\}$ 相互独立，因此满足概率乘积公式： $$P\{X=0\} \cdot P\{X+Y=1\} = P\{X=0,\, X+Y=1\}.$$ 根据已知的联合分布律，有： - $P\{X=0\} = P\{X=0, Y=0\} + P\{X=0, Y=1\} = 0.4 + a$； - $P\{X+Y=1\} = P\{X=0, Y=1\} + P\{X=1, Y=0\} = a + b$； - $P\{X=0,\, X+Y=1\} = P\{X=0, Y=1\} = a$（因为当 $X=0$ 且 $X+Y=1$ 时，必有 $Y=1$）。 代入独立性方程得： $$(0.4 + a)(a + b) = a.$$ 由前一步骤已知 $a + b = 0.5$，代入上式： $$(0.4 + a) \times 0.5 = a.$$ 展开并整理： $$0.2 + 0.5a = a,$$ $$0.2 = 0.5a,$$ $$a = 0.4.$$ 再由 $a + b = 0.5$ 得 $b = 0.5 - a = 0.5 - 0.4 = 0.1$。 **验证**：将 $a=0.4$，$b=0.1$ 代入原分布表，所有概率之和为 $0.4 + 0.4 + 0.1 + 0.1 = 1$，满足规范性；且独立性条件成立。因此最终结果为 $a=0.4$，$b=0.1$。