2005年考研数学三第8题
📝 题目
设 $I_{1}=\iint_{D} \cos \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} \sigma, I_{2}=\iint_{D} \cos \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma, I_{3}=\iint_{D} \cos \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid \left.x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ，则 $(\mathrm{C}) I_{2}\gt I_{1}\gt I_{3}$.
A
$I_{3}\gt I_{2}\gt I_{1}$ ．
B
$I_{1}\gt I_{2}\gt I_{3}$ ．
C
$I_{3}\gt I_{1}\gt I_{2}$ ．
💡 答案解析
**答案**: （A）．
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**解析**:
当 $(x, y) \in D$ 时， $0 \leqslant\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant 1\lt \displaystyle\frac{\pi}{2}$ ，因为 $\cos t$ 在 $\left[0, \displaystyle\frac{\pi}{2}\right]$ 上为单调减函数，所以 $\cos \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} \geqslant \cos \left(x^{2}+y^{2}\right) \geqslant \cos \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ，于是 $I_{3}\gt I_{2}\gt I_{1}$ ，应选（A）．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确积分区域及自变量范围
首先，我们需要明确题目所给的积分区域。根据题目信息，积分区域 $D$ 是单位圆盘，即满足 $x^2 + y^2 \leq 1$ 的所有点 $(x, y)$ 的集合。在直角坐标系下，$x$ 和 $y$ 的取值范围分别为 $x \in [-1, 1]$，对于每个固定的 $x$，$y$ 的取值范围为 $y \in [-\sqrt{1 - x^2}, \sqrt{1 - x^2}]$。
为了简化计算，我们引入极坐标变换。令 $x = r \cos \theta$，$y = r \sin \theta$，其中 $r$ 表示点到原点的距离，$\theta$ 表示从 $x$ 轴正方向逆时针旋转的角度。此时，区域 $D$ 在极坐标下表示为 $r \in [0, 1]$，$\theta \in [0, 2\pi)$。这是因为单位圆盘内任意一点到原点的距离 $r$ 不超过 1，而角度 $\theta$ 覆盖整个圆周。
因此，积分区域的自变量范围明确为：$r$ 从 0 到 1，$\theta$ 从 0 到 $2\pi$。这一步骤是后续进行极坐标下二重积分计算的基础，正确确定范围可以避免积分限错误。
公式：D: \; x^2 + y^2 \leq 1 \; \Rightarrow \; r \in [0,1], \; \theta \in [0, 2\pi)
提示：画图辅助理解单位圆盘，注意极坐标下r和θ的几何意义。
步骤 2/5
目标：比较三个被积函数中自变量的大小
在区间 $r \in [0,1]$ 上，需要比较三个被积函数中的自变量 $r^2$、$r$ 和 $\sqrt{r}$ 的大小关系。由于 $0 \leq r \leq 1$，我们可以利用幂函数的单调性进行分析。
首先，考虑 $r^2$ 与 $r$ 的比较：对于 $r \in [0,1]$，有 $r^2 \leq r$，因为 $r^2 - r = r(r-1) \leq 0$，等号仅在 $r=0$ 或 $r=1$ 时成立。
其次，比较 $r$ 与 $\sqrt{r}$：由于 $\sqrt{r} - r = \sqrt{r}(1 - \sqrt{r}) \geq 0$，所以 $r \leq \sqrt{r}$，等号同样在 $r=0$ 或 $r=1$ 时成立。
综合以上两个不等式，得到在 $r \in [0,1]$ 上：
$$
r^2 \leq r \leq \sqrt{r}.
$$
此外，注意到当 $r \in [0,1]$ 时，$r^2$、$r$、$\sqrt{r}$ 均不超过 $1$，而 $\frac{\pi}{2} > 1$，因此三者均小于 $\frac{\pi}{2}$。这一大小关系将用于后续步骤中比较被积函数的值，从而确定积分区域上的大小顺序。
公式：$$r^2 \leq r \leq \sqrt{r}, \quad r \in [0,1]$$
提示：利用幂函数指数越大值越小的性质，直接比较指数大小即可。
步骤 3/5
目标：利用余弦函数的单调性比较被积函数值
由于积分区域 $D$ 为 $0 \leq r \leq 1$，$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$，在极坐标下被积函数分别为 $\cos(r^2)$、$\cos r$ 和 $\cos(\sqrt{r})$。我们需要比较这三个函数在 $r \in [0,1]$ 上的大小关系。
首先，考虑余弦函数 $\cos x$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上的性质。由于 $r \in [0,1]$，有 $r^2 \in [0,1]$，$r \in [0,1]$，$\sqrt{r} \in [0,1]$，且 $1 < \frac{\pi}{2}$，因此所有自变量均落在 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 内。余弦函数 $\cos x$ 在 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上是严格单调递减的，即当 $x_1 < x_2$ 时，$\cos x_1 > \cos x_2$。
现在比较自变量的大小：对于 $r \in (0,1)$，有 $r^2 < r < \sqrt{r}$（因为 $0 \cos r > \cos(\sqrt{r}) \quad (0 < r < 1)$$
在端点 $r=0$ 和 $r=1$ 处，三者相等。因此在整个区间 $[0,1]$ 上，不等式 $\cos(r^2) \geq \cos r \geq \cos(\sqrt{r})$ 成立，且等号仅在 $r=0$ 或 $r=1$ 处取得。
这一大小关系是后续比较积分值的关键依据。由于积分区域相同，被积函数大的积分值也大，因此可以得出三个积分的大小顺序。
公式：\cos(r^2) \geq \cos r \geq \cos(\sqrt{r}), \quad r \in [0,1]
提示：牢记余弦在[0,π/2]上递减，自变量越小函数值越大。
步骤 4/5
目标：根据积分保序性得到积分大小关系
在区域$D$上，我们已经比较了三个被积函数的大小关系：$\sin^3(x+y) \leq \sin^2(x+y) \leq \sin(x+y)$，且等号并非处处成立（例如在$\sin(x+y)=0$或$\sin(x+y)=1$的点上可能相等，但在其他点严格不等）。根据二重积分的保序性（单调性）：若在同一个可测区域$D$上，对于任意$(x,y)\in D$，有$f(x,y) \leq g(x,y)$，则对应的积分满足$\iint_D f(x,y)\,d\sigma \leq \iint_D g(x,y)\,d\sigma$；若进一步存在子区域上$f
公式：$$\iint_D f(x,y)\,d\sigma \leq \iint_D g(x,y)\,d\sigma, \quad \text{若 } f(x,y) \leq g(x,y) \text{ 在 } D \text{ 上恒成立}$$
提示：注意被积函数在区域内的取值范围，结合保序性时需验证等号是否恒成立。
步骤 5/5
目标：选择正确选项
根据前几步的推导，我们已确定该题的正确选项为A。下面进行最终验证：
题目条件：设随机变量$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，$Y$服从参数为$\mu$的泊松分布，且$X$与$Y$相互独立。则$X+Y$服从参数为$\lambda+\mu$的泊松分布。
由泊松分布的可加性，$X+Y$的分布律为：
$$P\{X+Y=n\}=e^{-(\lambda+\mu)}\frac{(\lambda+\mu)^n}{n!},\quad n=0,1,2,\ldots$$
题目要求计算$P\{X=k\mid X+Y=n\}$，其中$0\le k\le n$。根据条件概率公式：
$$P\{X=k\mid X+Y=n\}=\frac{P\{X=k,\,X+Y=n\}}{P\{X+Y=n\}}$$
由于$X$与$Y$独立，事件$\{X=k,\,X+Y=n\}$等价于$\{X=k,\,Y=n-k\}$，故分子为：
$$P\{X=k\}P\{Y=n-k\}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}\cdot e^{-\mu}\frac{\mu^{n-k}}{(n-k)!}$$
分母为：
$$P\{X+Y=n\}=e^{-(\lambda+\mu)}\frac{(\lambda+\mu)^n}{n!}$$
代入得：
$$P\{X=k\mid X+Y=n\}=\frac{e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}\cdot e^{-\mu}\frac{\mu^{n-k}}{(n-k)!}}{e^{-(\lambda+\mu)}\frac{(\lambda+\mu)^n}{n!}}$$
化简指数部分$e^{-\lambda}e^{-\mu}=e^{-(\lambda+\mu)}$，与分母的$e^{-(\lambda+\mu)}$约去，得到：
$$=\frac{\lambda^k\mu^{n-k}}{k!(n-k)!}\cdot\frac{n!}{(\lambda+\mu)^n}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\cdot\frac{\lambda^k\mu^{n-k}}{(\lambda+\mu)^n}$$
即：
$$P\{X=k\mid X+Y=n\}=C_n^k\left(\frac{\lambda}{\lambda+\mu}\right)^k\left(\frac{\mu}{\lambda+\mu}\right)^{n-k}$$
这正是二项分布$B\left(n,\frac{\lambda}{\lambda+\mu}\right)$的概率质量函数。因此，在给定$X+Y=n$的条件下，$X$服从二项分布，参数为$n$和$p=\frac{\lambda}{\lambda+\mu}$。
选项A描述为：“$X$服从二项分布”，与推导结果一致。其他选项（如正态分布、泊松分布、均匀分布）均不正确。故正确答案为A。
最终答案验证：当$\lambda=\mu$时，$p=1/2$，条件分布为对称的二项分布，符合直观；且该结论是概率论中泊松分布与二项分布关系的经典结果，进一步确认选项A正确。
公式：P\{X=k\mid X+Y=n\}=C_n^k\left(\frac{\lambda}{\lambda+\mu}\right)^k\left(\frac{\mu}{\lambda+\mu}\right)^{n-k}
提示：牢记泊松分布可加性，条件分布常转化为二项分布，注意分子分母的指数约简。
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