2004年考研数学一第1题
📝 题目
曲线 $y=\ln x$ 上与直线 $x+y=1$ 垂直的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
# 第1题 答案\r
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**答案**: $y=x-1$ ．\r
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**解析**:\r
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设曲线 $y=\ln x$ 上切点坐标为 $(a, \ln a)$ ．\r
因为 $x+y=1$ 的斜率为 -1 ，所以切线的斜率为 1 ．\r
令 $\displaystyle \displaystyle\frac{1}{a}=1$ 得 $a=1$ ，切点为 $(1,0)$ ，切线为 $y-0=x-1$ ，即 $y=x-1$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定切线斜率
题目要求找出曲线 $y = \ln x$ 上与直线 $x + y = 1$ 垂直的切线方程。两条直线垂直的充要条件是它们的斜率乘积为 $-1$。
首先，将已知直线 $x + y = 1$ 改写为斜截式：$y = -x + 1$，可知其斜率为 $-1$。
设所求切线的斜率为 $k$，根据垂直条件有：
$$ k \times (-1) = -1 \quad \Rightarrow \quad k = 1. $$
因此，切线的斜率为 $1$。这一步为后续求切点坐标奠定了基础。
公式：$k = 1$ （垂直条件）
提示：两条直线垂直 ⇔ 斜率乘积 = -1。
步骤 2/4
目标：求导并建立方程
已知切线斜率为 $k = 1$，我们需要在曲线 $y = \ln x$ 上找到一点，使得该点处的导数（即切线斜率）等于 $1$。
对 $y = \ln x$ 求导：
$$ y' = \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}. $$
令导数等于切线斜率：
$$ \frac{1}{x} = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 1. $$
这一步的关键是正确应用对数函数的导数公式，并令其等于已求得的切线斜率。
公式：$$ y' = \frac{1}{x} = 1 \Rightarrow x = 1 $$
提示：对 y = ln x 求导，结果是 1/x。
步骤 3/4
目标：求切点坐标
已求得切点的横坐标 $x = 1$，将其代入曲线方程 $y = \ln x$ 中：
$$ y = \ln 1 = 0. $$
因此，切点坐标为 $(1, 0)$。
这一步非常简单，只需将横坐标代入原函数即可求出纵坐标。
公式：$$ (x, y) = (1, \ln 1) = (1, 0) $$
提示：切点既在曲线上，也在切线上。
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