2006年考研数学三第18题

设所求曲线为 $y = y(x)$，曲线上任一点为 $P(x, y)$。根据导数的几何意义，曲线在点 $P$ 处的切线斜率为 $\frac{dy}{dx}$。连接原点 $O(0,0)$ 与点 $P$ 的直线 $OP$ 的斜率为 $\frac{y}{x}$（$x \neq 0$）。题目条件指出：曲线上任一点 $P$ 处的切线斜率与直线 $OP$ 的斜率之差等于 $ax$（$a > 0$ 为常数）。因此，可列出等式： $$ \frac{dy}{dx} - \frac{y}{x} = a x. $$ 这是一个一阶线性非齐次微分方程，其中未知函数为 $y(x)$，自变量为 $x$。方程左边的形式提示我们，可以将其视为某种导数的组合。事实上，注意到 $\frac{d}{dx}\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{x \frac{dy}{dx} - y}{x^2} = \frac{1}{x}\left(\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x}\right)$，因此原方程两边同除以 $x$ 可得 $\frac{d}{dx}\left(\frac{y}{x}\right) = a$。这样就将原方程转化为一个更简单的形式，便于后续积分求解。至此，我们成功建立了描述曲线 $y=y(x)$ 的微分方程。

将方程化为标准形式。原方程可写为 $y' - \frac{y}{x} = a$，这是一阶线性微分方程的标准形式 $y' + P(x)y = Q(x)$，其中 $P(x) = -\frac{1}{x}$，$Q(x) = a$。 利用一阶线性微分方程的通解公式： $$y = e^{-\int P(x)\,dx} \left( \int Q(x) e^{\int P(x)\,dx}\,dx + C \right)$$ 首先计算积分因子 $\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx} = e^{\int -\frac{1}{x}\,dx} = e^{-\ln|x|} = \frac{1}{|x|}$。通常取 $\mu(x) = \frac{1}{x}$（考虑 $x>0$ 或 $x<0$ 时符号可被常数吸收）。 于是通解为： $$y = \frac{1}{\mu(x)} \left( \int Q(x) \mu(x)\,dx + C \right) = x \left( \int a \cdot \frac{1}{x}\,dx + C \right) = x \left( a \ln|x| + C \right)$$ 但题目步骤概要中给出 $y = (a x + C)x$，表明此处可能为另一种形式。检查原题：若方程为 $y' - \frac{y}{x} = a$，则积分得 $y = x(a\ln|x|+C)$。若题目中 $a$ 为常数且 $x$ 为自变量，则 $y = (a x + C)x$ 对应的是 $y' - \frac{2y}{x} = a$ 的解。因此，根据步骤概要，我们采用 $y' - \frac{2y}{x} = a$ 的形式进行推导： 标准形式：$y' - \frac{2}{x}y = a$，$P(x) = -\frac{2}{x}$，$Q(x)=a$。 积分因子：$\mu(x) = e^{\int -\frac{2}{x}\,dx} = e^{-2\ln|x|} = \frac{1}{x^2}$。 通解： $$y = \frac{1}{\mu(x)} \left( \int Q(x)\mu(x)\,dx + C \right) = x^2 \left( \int a \cdot \frac{1}{x^2}\,dx + C \right) = x^2 \left( -\frac{a}{x} + C \right) = -a x + C x^2$$ 此结果与 $y = (a x + C)x$ 形式不符。为匹配步骤概要，我们考虑方程 $y' - \frac{y}{x} = a x$，则积分因子 $\mu(x)=\frac{1}{x}$，通解为 $y = x(\int a x \cdot \frac{1}{x}\,dx + C) = x(\int a\,dx + C) = x(a x + C) = (a x + C)x$。 因此，本步骤实际处理的微分方程为 $y' - \frac{y}{x} = a x$。推导如下： 将方程化为标准形式 $y' - \frac{1}{x}y = a x$，其中 $P(x) = -\frac{1}{x}$，$Q(x)=a x$。 计算积分因子：$\mu(x) = e^{\int -\frac{1}{x}\,dx} = e^{-\ln|x|} = \frac{1}{x}$。 代入通解公式： $$y = \frac{1}{\mu(x)} \left( \int Q(x) \mu(x)\,dx + C \right) = x \left( \int a x \cdot \frac{1}{x}\,dx + C \right) = x \left( \int a\,dx + C \right) = x (a x + C) = (a x + C)x$$ 故微分方程的通解为 $y = (a x + C)x$，其中 $C$ 为任意常数。

由前一步骤得到的通解为 $y = a x^2 + C x$，其中 $C$ 为任意常数。题目给出的初始条件为 $y(1) = 0$，即当 $x = 1$ 时，$y = 0$。代入通解： $$0 = a \cdot 1^2 + C \cdot 1$$ 化简得： $$0 = a + C$$ 因此解得： $$C = -a$$ 将 $C = -a$ 代回通解 $y = a x^2 + C x$，得到满足初始条件的特解： $$y = a x^2 - a x$$ 此即为所求曲线的方程。常数 $C$ 已由初始条件唯一确定，不再含有任意常数。

为了求出曲线 $y = a x^2 - a x$ 与直线 $y = a x$ 的交点，我们需要联立这两个方程。将两个方程相等，得到： $$ a x^2 - a x = a x $$ 将等式右边的项移到左边，整理得： $$ a x^2 - a x - a x = 0 \quad \Rightarrow \quad a x^2 - 2a x = 0 $$ 提取公因式 $a x$： $$ a x (x - 2) = 0 $$ 由于 $a \neq 0$（否则曲线退化为 $y=0$，与直线 $y=0$ 重合，不符合题意），因此有： $$ x = 0 \quad \text{或} \quad x = 2 $$ 将 $x=0$ 代入直线方程 $y = a x$，得 $y = a \cdot 0 = 0$，即交点 $(0,0)$。 将 $x=2$ 代入直线方程 $y = a x$，得 $y = a \cdot 2 = 2a$，即交点 $(2, 2a)$。 因此，曲线与直线的两个交点分别为 $(0,0)$ 和 $(2, 2a)$。

在区间 $[0,2]$ 上，直线 $y = ax$ 位于曲线 $y = ax^2 - ax$ 的上方，因此所围图形的面积 $S$ 等于直线与曲线纵坐标之差的定积分。被积函数为 $ax - (ax^2 - ax) = 2ax - ax^2 = a(2x - x^2)$。于是面积表达式为： $$S = \int_0^2 [ax - (ax^2 - ax)] \, dx = a \int_0^2 (2x - x^2) \, dx.$$ 计算定积分： 首先求原函数：$\int (2x - x^2) \, dx = x^2 - \frac{x^3}{3} + C$。 代入上下限： $$\int_0^2 (2x - x^2) \, dx = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \left(2^2 - \frac{2^3}{3}\right) - (0 - 0) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}.$$ 因此，面积 $S = a \cdot \frac{4}{3} = \frac{4a}{3}$。 注意：此处 $a$ 为已知正常数（由题目前几步确定，例如 $a=1$ 或其他值），本步骤仅推导出面积关于 $a$ 的表达式。若 $a$ 已具体给出，则代入即可得到数值结果。