2006年考研数学三第4题

已知矩阵方程 $BA = B + 2E$，其中 $A$、$B$ 为同阶方阵，$E$ 为单位矩阵。我们的目标是化简该方程，以便后续求解矩阵 $B$。 第一步，将方程右边的 $B$ 项移到左边，得到： $$BA - B = 2E$$ 第二步，观察左边两项 $BA$ 和 $B$，它们都含有公因子 $B$。注意，矩阵乘法满足右分配律，即 $B(A - E) = BA - B$，因此我们可以将公因子 $B$ 提取出来（提取时注意顺序，$B$ 在左边）： $$B(A - E) = 2E$$ 至此，原方程化简为 $B(A - E) = 2E$。这个形式将未知矩阵 $B$ 与一个已知矩阵 $(A - E)$ 的乘积等于一个数量矩阵 $2E$，为后续求解 $B$ 提供了便利。

已知矩阵方程 $B(A - E) = 2E$，其中 $E$ 为单位矩阵。为了利用行列式的性质求解未知矩阵的行列式，我们对等式两边同时取行列式。 根据行列式的乘法性质：对于同阶方阵 $X$ 和 $Y$，有 $|XY| = |X| \cdot |Y|$。因此，左边 $B(A - E)$ 的行列式等于 $|B| \cdot |A - E|$。 右边 $2E$ 是一个数量矩阵，其对角线元素均为 $2$，其余元素为 $0$。对于 $n$ 阶方阵，$|kE| = k^n$，其中 $k$ 为常数，$n$ 为矩阵的阶数。由于题目未明确给出矩阵的阶数，但根据常见题型，通常为 $3$ 阶矩阵（具体阶数需结合上下文，此处按一般情况处理）。设矩阵阶数为 $n$，则 $|2E| = 2^n$。 因此，对方程两边取行列式后得到： $$|B| \cdot |A - E| = 2^n.$$ 这一步将矩阵方程转化为关于行列式的代数方程，为后续求解 $|B|$ 或 $|A|$ 提供了基础。注意，这里要求 $A - E$ 可逆（即 $|A - E| \neq 0$），否则等式左边可能为零而右边非零，导致矛盾，但本题中 $2^n \neq 0$，故 $|A - E| \neq 0$ 是隐含条件。

本步骤需要计算两个行列式的值：$|2E|$ 和 $|A - E|$。 首先，$E$ 是二阶单位矩阵，即 $E = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。数量矩阵 $2E$ 表示将单位矩阵的每个元素乘以2，得到 $2E = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$。对于二阶对角矩阵，其行列式等于对角线上元素的乘积，因此 $$|2E| = 2 \times 2 = 4.$$ 更一般地，对于 $n$ 阶单位矩阵，有 $|kE| = k^n$，这里 $n=2$，所以 $|2E| = 2^2 = 4$。 其次，计算 $A - E$。已知 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$，则 $$A - E = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}.$$ 对于二阶矩阵 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，其行列式为 $ad - bc$。代入 $a=1, b=1, c=-1, d=1$，得 $$|A - E| = 1 \times 1 - 1 \times (-1) = 1 + 1 = 2.$$ 因此，$|2E| = 4$，$|A - E| = 2$。

在上一阶段，我们根据矩阵运算的性质得到了关于行列式 $|B|$ 的方程：$|B| \times 2 = 4$。现在，我们直接解这个一元一次方程即可。 方程两边同时除以 2（因为 $2 \neq 0$），得到： $$|B| = \frac{4}{2} = 2.$$ 因此，矩阵 $B$ 的行列式值为 2。 **最终答案验证**：将 $|B| = 2$ 代回原方程：$2 \times 2 = 4$，等式成立，结果正确。 本题的完整解答至此结束。