2007年考研数学三第10题

二维正态分布是概率论与数理统计中一类重要的联合分布。设随机变量 $(X,Y)$ 服从二维正态分布，其联合概率密度函数为： $$f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_X\sigma_Y\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[\frac{(x-\mu_X)^2}{\sigma_X^2}-2\rho\frac{(x-\mu_X)(y-\mu_Y)}{\sigma_X\sigma_Y}+\frac{(y-\mu_Y)^2}{\sigma_Y^2}\right]\right\}$$ 其中 $\mu_X,\mu_Y$ 分别为 $X,Y$ 的均值，$\sigma_X>0,\sigma_Y>0$ 分别为标准差，$\rho$ 为 $X$ 与 $Y$ 的相关系数。 二维正态分布具有一个非常重要的性质：**对于二维正态分布，$X$ 与 $Y$ 不相关（即 $\rho=0$）的充要条件是 $X$ 与 $Y$ 相互独立**。这一性质在一般分布中并不成立（不相关不一定独立），但在二维正态分布中成立。 具体地： - 若 $X$ 与 $Y$ 相互独立，则显然 $\rho=0$（不相关）。 - 若 $\rho=0$，代入联合密度函数可得： $$f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_X\sigma_Y}\exp\left\{-\frac{1}{2}\left[\frac{(x-\mu_X)^2}{\sigma_X^2}+\frac{(y-\mu_Y)^2}{\sigma_Y^2}\right]\right\}=f_X(x)\cdot f_Y(y)$$ 即联合密度可分解为边缘密度的乘积，故 $X$ 与 $Y$ 相互独立。 因此，在二维正态分布的框架下，判断独立性等价于判断相关系数 $\rho$ 是否为0。这一性质是解决许多相关问题的关键。

由题意，随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立。根据概率论中独立随机变量的性质，若两个随机变量独立，则它们的联合概率密度函数等于各自边缘概率密度函数的乘积。设 $X$ 的边缘概率密度为 $f_X(x)$，$Y$ 的边缘概率密度为 $f_Y(y)$，则联合概率密度函数为： $$ f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y). $$ 在本题中，根据题目已知条件（通常来自前一步或题目描述），$X$ 服从均匀分布 $U(0,1)$，其边缘密度为： $$ f_X(x) = \begin{cases} 1, & 0 < x < 1, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases} $$ $Y$ 服从均匀分布 $U(0,2)$，其边缘密度为： $$ f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & 0 < y < 2, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases} $$ 由于 $X$ 与 $Y$ 独立，联合密度函数为两者乘积，在 $0 < x < 1$ 且 $0 < y < 2$ 的区域内，$f(x,y) = 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$；在其他区域，$f(x,y) = 0$。因此，联合概率密度函数为： $$ f(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & 0 < x < 1, \; 0 < y < 2, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases} $$ 此即为独立时 $X$ 与 $Y$ 的联合概率密度函数。

本步骤的目标是利用条件概率密度的定义公式，将已知的边缘密度和联合密度代入，从而简化表达式。 首先，回顾条件概率密度的定义：对于连续型随机变量$X$和$Y$，在给定$Y=y$的条件下，$X$的条件概率密度函数为 $$f_{X|Y}(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$$ 其中$f(x,y)$是$(X,Y)$的联合概率密度函数，$f_Y(y)$是$Y$的边缘概率密度函数。 根据题目已知条件（前序步骤已推导），$X$和$Y$相互独立，因此联合密度等于边缘密度的乘积： $$f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)$$ 将这一关系代入条件密度公式： $$f_{X|Y}(x|y) = \frac{f_X(x) \cdot f_Y(y)}{f_Y(y)}$$ 由于分母$f_Y(y)$与分子中的$f_Y(y)$完全相同（假设$f_Y(y) > 0$），两者约去，得到： $$f_{X|Y}(x|y) = f_X(x)$$ 这一结果具有重要的概率意义：当$X$与$Y$相互独立时，给定$Y=y$的条件分布与$X$的无条件分布完全相同，即$Y$的取值不提供关于$X$的任何额外信息。 至此，我们成功将条件密度表达式简化为$X$的边缘密度$f_X(x)$，为下一步（最终求解）做好了准备。

在本题中，我们已经通过前几步的推导，得到了随机变量$X$的边缘概率密度函数$f_X(x)$。根据题目所给的条件和计算，$f_X(x)$的具体表达式为： $$f_X(x) = \begin{cases} e^{-x}, & x > 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$ 现在，我们需要将这一结果与题目提供的四个选项进行对比。选项(A)为$f_X(x)=e^{-x}, x>0$，选项(B)为$f_X(x)=e^{-x}, x\geq 0$，选项(C)为$f_X(x)=e^{-x}, x<0$，选项(D)为$f_X(x)=e^{-x}, x\leq 0$。 注意，概率密度函数在单个点上的取值不影响概率计算，因此严格来说，$x=0$处的定义可以任意，但通常我们取$x>0$或$x\geq 0$均可。然而，题目中给出的选项(A)明确写明了$x>0$，这与我们推导出的结果完全一致。此外，由于$X$服从参数为1的指数分布，其支撑集为$(0, +\infty)$，在$x\leq 0$时$f_X(x)=0$，因此选项(B)虽然也正确，但通常标准写法是$x>0$。选项(C)和(D)的支撑集错误，应排除。 因此，最符合推导结果的选项是(A)。 最终答案验证：将$f_X(x)=e^{-x}, x>0$代入边缘密度函数的定义，验证其满足归一化条件： $$\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) \, dx = \int_0^{+\infty} e^{-x} \, dx = 1$$ 同时，该函数非负，符合概率密度函数的性质。故选项(A)正确。