2007年考研数学三第20题

首先，对分母 $x^2 - 3x - 4$ 进行因式分解。这是一个二次三项式，寻找两个数，使得它们的乘积为 $-4$，和为 $-3$。这两个数是 $1$ 和 $-4$，因为 $1 \times (-4) = -4$，$1 + (-4) = -3$。因此，分母可以分解为 $(x+1)(x-4)$。 接下来，将有理函数 $f(x) = \frac{1}{x^2 - 3x - 4}$ 分解为部分分式。设： $$\frac{1}{(x+1)(x-4)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-4}$$ 其中 $A$ 和 $B$ 为待定常数。两边乘以 $(x+1)(x-4)$ 得： $$1 = A(x-4) + B(x+1)$$ 整理得： $$1 = (A+B)x + (-4A + B)$$ 比较系数，得到方程组： $$\begin{cases} A + B = 0 \\ -4A + B = 1 \end{cases}$$ 由第一个方程得 $B = -A$，代入第二个方程：$-4A - A = 1$，即 $-5A = 1$，解得 $A = -\frac{1}{5}$，进而 $B = \frac{1}{5}$。 因此，部分分式分解结果为： $$\frac{1}{(x+1)(x-4)} = -\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x+1} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x-4} = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{x-4} - \frac{1}{x+1} \right)$$ 这样就完成了分母的因式分解和函数的部分分式拆分。

我们需要将第一项 $\frac{1}{x-4}$ 改写为以 $(x-1)$ 为变量的形式，以便后续利用等比级数展开。 首先，将分母中的 $x$ 用 $(x-1)$ 表示： $$x-4 = (x-1) - 3.$$ 因此， $$\frac{1}{x-4} = \frac{1}{(x-1)-3}.$$ 为了将其化为 $\frac{1}{1-u}$ 的形式，我们提取因子 $-3$： $$\frac{1}{(x-1)-3} = \frac{1}{-3\left[1 - \frac{x-1}{3}\right]} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x-1}{3}}.$$ 这样，我们就得到了以 $(x-1)$ 为变量的表达式： $$\frac{1}{x-4} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x-1}{3}}.$$ 这个形式可以直接利用等比级数展开公式 $\frac{1}{1-u} = \sum_{n=0}^{\infty} u^n$（其中 $|u|<1$），将 $u = \frac{x-1}{3}$ 代入即可展开为 $(x-1)$ 的幂级数。

第二项为 $\frac{1}{x+1}$。为了将其展开为关于 $(x-1)$ 的幂级数，需要将分母写成 $(x-1)$ 的线性形式。 首先，将 $x+1$ 改写为 $(x-1)+2$，即： $$\frac{1}{x+1} = \frac{1}{(x-1)+2}.$$ 然后提取因子 $2$，得到： $$\frac{1}{(x-1)+2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + \frac{x-1}{2}}.$$ 为了利用等比级数公式 $\frac{1}{1-u} = \sum_{n=0}^{\infty} u^n$（$|u|<1$），将分母中的加号转化为减号： $$\frac{1}{1 + \frac{x-1}{2}} = \frac{1}{1 - \left(-\frac{x-1}{2}\right)}.$$ 因此， $$\frac{1}{x+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \left(-\frac{x-1}{2}\right)}.$$ 这样，第二项就成功变形为以 $(x-1)$ 为变量的形式，其中公比为 $-\frac{x-1}{2}$，为下一步的等比级数展开做好了准备。

将函数$f(x)=\frac{1}{x^2-3x-4}$分解为部分分式后得到： $$f(x)=\frac{1}{5}\left(\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x+1}\right)$$ 现在分别将$\frac{1}{x-4}$和$\frac{1}{x+1}$在$x=1$处展开为幂级数。 **第一步：展开$\frac{1}{x-4}$** 将$\frac{1}{x-4}$改写为： $$\frac{1}{x-4}=\frac{1}{(x-1)-3}=-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1-\frac{x-1}{3}}$$ 利用等比级数公式$\frac{1}{1-u}=\sum_{n=0}^{\infty}u^n$（$|u|<1$），令$u=\frac{x-1}{3}$，得： $$\frac{1}{x-4}=-\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x-1}{3}\right)^n=-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{3^{n+1}}$$ 收敛域为$\left|\frac{x-1}{3}\right|<1$，即$|x-1|<3$。 **第二步：展开$\frac{1}{x+1}$** 将$\frac{1}{x+1}$改写为： $$\frac{1}{x+1}=\frac{1}{(x-1)+2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+\frac{x-1}{2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-\left(-\frac{x-1}{2}\right)}$$ 利用等比级数公式，令$u=-\frac{x-1}{2}$，得： $$\frac{1}{x+1}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{x-1}{2}\right)^n=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(x-1)^n}{2^n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(x-1)^n}{2^{n+1}}$$ 收敛域为$\left|-\frac{x-1}{2}\right|<1$，即$|x-1|<2$。 **第三步：写出$f(x)$的展开式** 将两个展开式代入$f(x)$： $$f(x)=\frac{1}{5}\left[\left(-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{3^{n+1}}\right)-\left(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(x-1)^n}{2^{n+1}}\right)\right]$$ 合并得： $$f(x)=-\frac{1}{5}\sum_{n=0}^{\infty}\left[\frac{1}{3^{n+1}}+\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}\right](x-1)^n$$ 收敛域取两个级数收敛域的交集：$|x-1|<2$。

将两个级数代入 $f(x)=\frac{1}{5}\left(\frac{1}{x-4}-\frac{1}{x+1}\right)$ 中，分别展开为 $(x-1)$ 的幂级数。 首先处理 $\frac{1}{x-4}$： $$ \frac{1}{x-4} = \frac{1}{(x-1)-3} = -\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1-\frac{x-1}{3}} = -\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x-1}{3}\right)^n = -\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{3^{n+1}}. $$ 其次处理 $\frac{1}{x+1}$： $$ \frac{1}{x+1} = \frac{1}{(x-1)+2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+\frac{x-1}{2}} = \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{x-1}{2}\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}(x-1)^n. $$ 于是 $$ f(x)=\frac{1}{5}\left[ -\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{3^{n+1}} - \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^{n+1}}(x-1)^n \right]. $$ 将系数合并，得到 $$ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\left[ -\frac{1}{5\cdot3^{n+1}} - \frac{1}{5\cdot2^{n+1}}(-1)^n \right](x-1)^n. $$ 此即为 $f(x)$ 在 $x=1$ 处展开的幂级数形式，收敛区间由两个级数收敛区间的交集决定，即 $|x-1|<2$（因为 $\frac{1}{x+1}$ 的收敛半径为 $2$，$\frac{1}{x-4}$ 的收敛半径为 $3$，取较小者）。

首先，由前一步骤得到原级数分解为两个等比级数之和： $$ \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \left(\frac{x-1}{3}\right)^n + \left(-\frac{x-1}{2}\right)^n \right]. $$ 对于等比级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a^n$，其收敛的充要条件是公比 $|a|<1$。因此，第一个级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{x-1}{3}\right)^n$ 收敛的条件为 $$ \left|\frac{x-1}{3}\right| < 1 \quad \Rightarrow \quad |x-1| < 3. $$ 第二个级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \left(-\frac{x-1}{2}\right)^n$ 收敛的条件为 $$ \left|-\frac{x-1}{2}\right| < 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{|x-1|}{2} < 1 \quad \Rightarrow \quad |x-1| < 2. $$ 两个级数同时收敛才能保证原级数收敛，故需取两个条件的交集，即 $$ |x-1| < 2. $$ 这等价于 $-2 < x-1 < 2$，解得 $-1 < x < 3$。因此收敛区间为开区间 $(-1,3)$。 接下来检查端点处的敛散性： - 当 $x = -1$ 时，$x-1 = -2$，代入原级数得 $$ \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \left(\frac{-2}{3}\right)^n + \left(-\frac{-2}{2}\right)^n \right] = \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \left(-\frac{2}{3}\right)^n + (1)^n \right]. $$ 由于通项中 $(1)^n = 1$ 不趋于0，级数发散。 - 当 $x = 3$ 时，$x-1 = 2$，代入得 $$ \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \left(\frac{2}{3}\right)^n + \left(-\frac{2}{2}\right)^n \right] = \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \left(\frac{2}{3}\right)^n + (-1)^n \right]. $$ 通项中 $(-1)^n$ 不趋于0，级数发散。 因此，端点处级数均发散，收敛区间为开区间 $(-1,3)$。 最终答案：原级数的收敛区间为 $(-1,3)$。