2007年考研数学三第23题

本步骤需要计算内层积分 $\int_{0}^{x/2} (2 - x - y) \, dy$，其中 $x$ 被视为常数。 首先，将被积函数 $2 - x - y$ 拆分为关于 $y$ 的常数项和一次项： $$\int_{0}^{x/2} (2 - x - y) \, dy = \int_{0}^{x/2} (2 - x) \, dy - \int_{0}^{x/2} y \, dy.$$ 分别计算两个积分： 1. 对于常数项 $(2 - x)$，积分得： $$\int_{0}^{x/2} (2 - x) \, dy = (2 - x) \cdot y \Big|_{0}^{x/2} = (2 - x) \cdot \frac{x}{2} - (2 - x) \cdot 0 = \frac{x(2 - x)}{2}.$$ 2. 对于 $y$ 的积分： $$\int_{0}^{x/2} y \, dy = \frac{1}{2} y^2 \Big|_{0}^{x/2} = \frac{1}{2} \left( \frac{x}{2} \right)^2 - \frac{1}{2} \cdot 0^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{4} = \frac{x^2}{8}.$$ 因此，原积分结果为： $$\int_{0}^{x/2} (2 - x - y) \, dy = \frac{x(2 - x)}{2} - \frac{x^2}{8}.$$ 将两项通分合并： $$\frac{x(2 - x)}{2} = \frac{4x(2 - x)}{8} = \frac{8x - 4x^2}{8},$$ 所以 $$\frac{8x - 4x^2}{8} - \frac{x^2}{8} = \frac{8x - 4x^2 - x^2}{8} = \frac{8x - 5x^2}{8}.$$ 于是内层积分的结果为： $$\int_{0}^{x/2} (2 - x - y) \, dy = \frac{8x - 5x^2}{8}.$$ 这个表达式将用于下一步对外层变量 $x$ 的积分。

设随机变量$X$与$Y$相互独立，且均服从区间$[0,1]$上的均匀分布，则联合概率密度函数为$f(x,y)=1$，其中$0\le x\le1,0\le y\le1$。令$Z=X+Y$，其分布函数$F_Z(z)=P\{X+Y\le z\}$。根据$z$的取值范围，需分四段计算二重积分： **1. 当$z<0$时**：由于$X+Y\ge0$，故$P\{X+Y\le z\}=0$，即$F_Z(z)=0$。 **2. 当$0\le z<1$时**：积分区域为$\{(x,y):0\le x\le1,0\le y\le1, x+y\le z\}$。由于$z<1$，该区域完全位于单位正方形内，且为等腰直角三角形。积分限：$x$从$0$到$z$，$y$从$0$到$z-x$。于是 $$F_Z(z)=\int_{0}^{z}\int_{0}^{z-x}1\,dy\,dx=\int_{0}^{z}(z-x)\,dx=\left[zx-\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{z}=z^2-\frac{z^2}{2}=\frac{z^2}{2}.$$ **3. 当$1\le z<2$时**：此时直线$x+y=z$与单位正方形相交。积分区域为正方形减去右上角三角形（$x+y>z$的部分）。利用补集法：$F_Z(z)=1-P\{X+Y>z\}$。$P\{X+Y>z\}$对应区域$\{(x,y):0\le x\le1,0\le y\le1, x+y>z\}$。由于$z\ge1$，该区域为等腰直角三角形，其直角边长为$2-z$（因为$x$从$z-1$到$1$，$y$从$z-x$到$1$）。计算： $$P\{X+Y>z\}=\int_{z-1}^{1}\int_{z-x}^{1}1\,dy\,dx=\int_{z-1}^{1}(1-z+x)\,dx=\left[(1-z)x+\frac{x^2}{2}\right]_{z-1}^{1}.$$ 代入$x=1$得$(1-z)+\frac12=\frac32-z$；代入$x=z-1$得$(1-z)(z-1)+\frac{(z-1)^2}{2}=-(z-1)^2+\frac{(z-1)^2}{2}=-\frac{(z-1)^2}{2}$。相减得： $$\left(\frac32-z\right)-\left(-\frac{(z-1)^2}{2}\right)=\frac32-z+\frac{(z-1)^2}{2}=\frac{3-2z+(z^2-2z+1)}{2}=\frac{z^2-4z+4}{2}=\frac{(z-2)^2}{2}.$$ 因此$F_Z(z)=1-\frac{(z-2)^2}{2}=1-\frac{(2-z)^2}{2}$。 **4. 当$z\ge2$时**：$X+Y\le2$恒成立，故$F_Z(z)=1$。 综上，分布函数为： $$F_Z(z)=\begin{cases} 0, & z<0,\\ \dfrac{z^2}{2}, & 0\le z<1,\\ 1-\dfrac{(2-z)^2}{2}, & 1\le z<2,\\ 1, & z\ge2. \end{cases}$$

当 $0 \leq z < 1$ 时，积分区域由条件 $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \leq z$ 确定。这是一个直角三角形区域，其顶点为 $(0,0)$, $(z,0)$, $(0,z)$。联合概率密度函数 $f(x,y) = 2 - x - y$ 在区域上非负。分布函数 $F_Z(z) = P(X+Y \leq z) = \iint_{x+y \leq z} f(x,y) \, dx \, dy$。 首先对 $y$ 积分，对于固定的 $x$，$y$ 的取值范围为 $0 \leq y \leq z - x$，而 $x$ 的取值范围为 $0 \leq x \leq z$。因此： $$F_Z(z) = \int_{x=0}^{z} \int_{y=0}^{z-x} (2 - x - y) \, dy \, dx.$$ 先计算内层积分： $$\int_{y=0}^{z-x} (2 - x - y) \, dy = \left[ (2 - x)y - \frac{y^2}{2} \right]_{y=0}^{z-x} = (2 - x)(z - x) - \frac{(z - x)^2}{2}.$$ 化简： $$(2 - x)(z - x) = 2z - 2x - xz + x^2,$$ 减去 $\frac{(z - x)^2}{2} = \frac{z^2 - 2zx + x^2}{2}$，得： $$2z - 2x - xz + x^2 - \frac{z^2}{2} + zx - \frac{x^2}{2} = 2z - 2x - \frac{z^2}{2} + \frac{x^2}{2}.$$ 因此内层积分结果为 $2z - 2x - \frac{z^2}{2} + \frac{x^2}{2}$。 接着对 $x$ 积分： $$F_Z(z) = \int_{0}^{z} \left( 2z - 2x - \frac{z^2}{2} + \frac{x^2}{2} \right) dx.$$ 逐项积分： $$\int_{0}^{z} 2z \, dx = 2z \cdot z = 2z^2,$$ $$\int_{0}^{z} (-2x) \, dx = -2 \cdot \frac{z^2}{2} = -z^2,$$ $$\int_{0}^{z} \left( -\frac{z^2}{2} \right) dx = -\frac{z^2}{2} \cdot z = -\frac{z^3}{2},$$ $$\int_{0}^{z} \frac{x^2}{2} \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{z^3}{3} = \frac{z^3}{6}.$$ 相加得： $$F_Z(z) = 2z^2 - z^2 - \frac{z^3}{2} + \frac{z^3}{6} = z^2 - \frac{z^3}{3}.$$ 因此，当 $0 \leq z < 1$ 时，分布函数为 $F_Z(z) = z^2 - \frac{z^3}{3}$。

当 $1 \leq z < 2$ 时，需要计算 $F_Z(z) = P(Z \leq z)$。由于 $Z = X + Y$，且 $X$ 与 $Y$ 独立服从 $U(0,1)$，联合密度 $f(x,y)=1$ 在单位正方形 $[0,1]\times[0,1]$ 上。事件 $\{X+Y \leq z\}$ 对应区域为直线 $x+y=z$ 下方的部分。由于 $z \in [1,2)$，直线与正方形相交于 $(z-1,1)$ 和 $(1,z-1)$ 两点，因此积分区域为一个五边形。采用补集法：先计算 $P(Z > z)$，即直线 $x+y=z$ 上方的三角形区域面积。该三角形顶点为 $(z-1,1)$、$(1,z-1)$ 和 $(1,1)$，两条直角边长度均为 $2-z$，故三角形面积为 $\frac{1}{2}(2-z)^2$。于是 $F_Z(z) = 1 - \frac{1}{2}(2-z)^2$。但题目要求用积分表达式验证：$F_Z(z) = \int_{x=z-1}^{1} \int_{y=z-x}^{1} 1 \, dy \, dx$。计算内积分：$\int_{y=z-x}^{1} dy = 1 - (z-x) = 1 - z + x$。再对 $x$ 积分：$\int_{x=z-1}^{1} (1 - z + x) \, dx = \left[ (1-z)x + \frac{x^2}{2} \right]_{x=z-1}^{1}$。代入上限 $x=1$ 得 $(1-z)\cdot1 + \frac{1}{2} = 1 - z + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} - z$。代入下限 $x=z-1$ 得 $(1-z)(z-1) + \frac{(z-1)^2}{2} = -(z-1)^2 + \frac{(z-1)^2}{2} = -\frac{(z-1)^2}{2}$。相减得 $\left(\frac{3}{2} - z\right) - \left(-\frac{(z-1)^2}{2}\right) = \frac{3}{2} - z + \frac{(z-1)^2}{2}$。展开 $(z-1)^2 = z^2 - 2z + 1$，代入得 $\frac{3}{2} - z + \frac{z^2 - 2z + 1}{2} = \frac{3}{2} - z + \frac{z^2}{2} - z + \frac{1}{2} = \frac{z^2}{2} - 2z + 2$。化简为 $\frac{z^2}{2} - 2z + 2$。但题目给出的结果为 $\frac{z^3}{3} - 2z^2 + 4z - \frac{5}{3}$，两者不一致，说明题目结果有误。正确结果应为 $F_Z(z) = \frac{z^2}{2} - 2z + 2$ 或等价形式 $1 - \frac{1}{2}(2-z)^2$。验证：当 $z=1$ 时，$F_Z(1)=\frac{1}{2} - 2 + 2 = \frac{1}{2}$，与 $P(X+Y\leq 1)=\frac{1}{2}$ 一致；当 $z=2$ 时，$F_Z(2)=2 - 4 + 2 = 0$，但实际 $P(Z\leq 2)=1$，说明 $z=2$ 应归入下一区间。因此本步骤正确表达式为 $F_Z(z) = 1 - \frac{1}{2}(2-z)^2$，$1 \leq z < 2$。

根据前几步的分析，随机变量 $Z = X + Y$ 的分布函数 $F_Z(z)$ 需要分段讨论。首先，$X$ 和 $Y$ 相互独立，$X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，$Y$ 服从 $[0,1]$ 上的均匀分布。$Z$ 的取值范围为 $[0, +\infty)$，但需注意 $Y$ 有上界 $1$，因此当 $z$ 在不同区间时，积分区域不同。 **分段情况：** 1. **当 $z < 0$ 时**：由于 $X \geq 0$，$Y \geq 0$，故 $Z \geq 0$，此时 $F_Z(z) = 0$。 2. **当 $0 \leq z < 1$ 时**：此时 $y$ 的取值范围为 $[0, z]$（因为 $x = z - y \geq 0$ 自动满足），且 $x$ 从 $0$ 到 $z-y$ 积分。利用卷积公式： $$F_Z(z) = \int_{0}^{z} \int_{0}^{z-y} f_X(x) f_Y(y) \, dx \, dy = \int_{0}^{z} \left(1 - e^{-\lambda(z-y)}\right) \cdot 1 \, dy.$$ 计算得： $$F_Z(z) = \int_{0}^{z} (1 - e^{-\lambda(z-y)}) dy = z - \frac{1}{\lambda}(1 - e^{-\lambda z}).$$ 3. **当 $z \geq 1$ 时**：此时 $y$ 的取值范围为 $[0, 1]$，而 $x$ 从 $0$ 到 $z-y$ 积分。注意当 $z \geq 1$ 时，$z-y \geq 0$ 对所有 $y \in [0,1]$ 成立，因此： $$F_Z(z) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{z-y} f_X(x) f_Y(y) \, dx \, dy = \int_{0}^{1} (1 - e^{-\lambda(z-y)}) \, dy.$$ 计算得： $$F_Z(z) = \int_{0}^{1} (1 - e^{-\lambda z} e^{\lambda y}) dy = 1 - e^{-\lambda z} \cdot \frac{1}{\lambda}(e^{\lambda} - 1).$$ **综合各段，$F_Z(z)$ 的分段表达式为：** $$F_Z(z) = \begin{cases} 0, & z < 0, \\ z - \frac{1}{\lambda}(1 - e^{-\lambda z}), & 0 \leq z < 1, \\ 1 - \frac{e^{-\lambda z}}{\lambda}(e^{\lambda} - 1), & z \geq 1. \end{cases}$$ 注意：当 $z \to +\infty$ 时，$F_Z(z) \to 1$，符合分布函数的性质。

已知分布函数 $F_Z(z)$ 的分段表达式为： $$F_Z(z)=\begin{cases} 0, & z<0,\\ \frac{1}{2}z, & 0\le z<1,\\ \frac{1}{2}, & 1\le z<2,\\ \frac{1}{2}z-\frac{1}{2}, & 2\le z<3,\\ 1, & z\ge3. \end{cases}$$ 对分布函数各段分别求导，得到概率密度函数 $f_Z(z)$。注意在分段点处，分布函数连续但不可导，可定义密度函数在分段点处取任意值（通常取左导数或右导数，不影响概率计算）。 1. 当 $z<0$ 时，$F_Z(z)=0$，求导得 $f_Z(z)=0$。 2. 当 $0\le z<1$ 时，$F_Z(z)=\frac{1}{2}z$，求导得 $f_Z(z)=\frac{1}{2}$。 3. 当 $1\le z<2$ 时，$F_Z(z)=\frac{1}{2}$，求导得 $f_Z(z)=0$。 4. 当 $2\le z<3$ 时，$F_Z(z)=\frac{1}{2}z-\frac{1}{2}$，求导得 $f_Z(z)=\frac{1}{2}$。 5. 当 $z\ge3$ 时，$F_Z(z)=1$，求导得 $f_Z(z)=0$。 因此，概率密度函数 $f_Z(z)$ 的分段表达式为： $$f_Z(z)=\begin{cases} \frac{1}{2}, & 0\le z<1,\\ 0, & 1\le z<2,\\ \frac{1}{2}, & 2\le z<3,\\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$ 注意在 $z=0,1,2,3$ 处，密度函数可以任意定义，不影响概率积分结果。该密度函数表明 $Z$ 在区间 $[0,1)$ 和 $[2,3)$ 上均匀分布，概率各为 $\frac{1}{2}$，中间 $[1,2)$ 上概率为0。

综合前几步的推导，我们得到随机变量$Z = X + Y$的概率密度函数$f_Z(z)$的分段表达式。 当$0 < z < 1$时，积分区域为三角形，计算得到： $$f_Z(z) = \int_0^z 1 \cdot 1 \, dx = z \quad \text{（注意：此处需根据实际卷积结果修正）}$$ 实际上，根据前几步的卷积计算，当$0

公式：f_Z(z) = \begin{cases} 2z - z^2, & 0 < z < 1 \\ z^2 - 4z + 4, & 1 < z < 2 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}

提示：注意分段点z=1处可任意定义，通常取0不影响概率。