💡 答案解析
**答案**: （B）．
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**解析**:
由 $|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda-2 & 1 & 1 \\ 1 & \lambda-2 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda-2\end{array}\right|=\lambda(\lambda-3)^{2}=0$,
得 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\lambda_{1}=0, \lambda_{2}=\lambda_{3}=3$ ；
$\boldsymbol{B}$ 的特征值为 $\lambda_{1}=\lambda_{2}=1, \lambda_{3}=0$ ，即实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 特征值不同，但特征值中正、负个数都相同，故 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 合同但不相似，应选（B）。
方法点评：判断实对称矩阵的相似与合同方法如下：
设 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{B}$ ，则
📋 详细解题步骤
目标：计算矩阵A的特征值
首先，我们需要写出矩阵$A$的特征多项式$|\lambda E - A|$。设矩阵$A$为题目中给出的三阶矩阵（具体元素由题目给出，此处以一般形式推导）。特征多项式定义为$\det(\lambda E - A)$，其中$E$是单位矩阵。
计算行列式：
$$|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda - a_{11} & -a_{12} & -a_{13} \\ -a_{21} & \lambda - a_{22} & -a_{23} \\ -a_{31} & -a_{32} & \lambda - a_{33} \end{vmatrix}$$
将矩阵$A$的具体数值代入（此处假设$A$为已知矩阵，例如$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$，但实际题目中矩阵可能不同，需根据原题确定）。经过行列式展开和化简，得到特征多项式为：
$$|\lambda E - A| = \lambda(\lambda - 3)^2$$
令特征多项式等于零：
$$\lambda(\lambda - 3)^2 = 0$$
解得特征值：
$$\lambda_1 = 0, \quad \lambda_2 = \lambda_3 = 3$$
因此，矩阵$A$的特征值为$0$（单根）和$3$（二重根）。
公式：$$|\lambda E - A| = \lambda(\lambda - 3)^2 = 0$$
提示：计算特征多项式时，先尝试提取公因式，可简化运算。
目标：确定矩阵B的特征值
矩阵$B$是一个对角矩阵，其形式为$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。对于对角矩阵，其特征值就是其主对角线上的元素。这是因为对角矩阵的特征多项式为$\det(B - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & -\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)^2(-\lambda)$。令该多项式等于零，解得$\lambda = 1$（二重根）和$\lambda = 0$（单根）。因此，矩阵$B$的特征值为$\lambda_1 = 1$，$\lambda_2 = 1$，$\lambda_3 = 0$。注意，特征值的重数由代数重数决定，这里$1$是二重特征值，$0$是单重特征值。
公式：$$\det(B - \lambda I) = (1-\lambda)^2(-\lambda) = 0$$
提示：对角矩阵的特征值直接看对角线元素即可，无需计算。
目标：判断相似性
首先，我们需要判断矩阵$A$与矩阵$B$是否相似。相似矩阵的必要条件是它们具有完全相同的特征值（包括代数重数）。因此，我们分别计算$A$和$B$的特征值。
已知矩阵$A$的特征值为$0, 3, 3$（即一个特征值$0$，二重特征值$3$）。矩阵$B$的特征值为$1, 1, 0$（即一个特征值$0$，二重特征值$1$）。
比较两组特征值：$A$的特征值集合为$\{0,3,3\}$，$B$的特征值集合为$\{0,1,1\}$。虽然它们都有一个特征值$0$，但另一个特征值不同：$A$有$3$（二重），$B$有$1$（二重）。由于特征值不完全相同，因此$A$与$B$不满足相似的必要条件。
注意：即使特征值相同，还需要考虑特征值的代数重数与几何重数是否一致，以及是否可对角化等因素。但此处特征值已经不同，故可直接判定不相似。
因此，结论：矩阵$A$与矩阵$B$不相似。
公式：\text{若 } A \sim B \text{，则 } \lambda_A = \lambda_B \text{（特征值集合相同）}
提示：相似的必要条件是特征值完全相同，包括重数。特征值不同则一定不相似。
目标：判断合同性
对于实对称矩阵，合同性由正负惯性指数（即正、负特征值的个数）唯一确定。在步骤3中，我们已经求出了矩阵$A$和$B$的特征值。
矩阵$A$的特征值为：$\lambda_1 = 2$（单重），$\lambda_2 = 1$（单重），$\lambda_3 = 0$（单重）。因此，$A$的正特征值个数为$2$，负特征值个数为$0$，零特征值个数为$1$。其正惯性指数为$2$，负惯性指数为$0$，符号差为$2$。
矩阵$B$的特征值为：$\mu_1 = 2$（单重），$\mu_2 = 1$（单重），$\mu_3 = 0$（单重）。因此，$B$的正特征值个数为$2$，负特征值个数为$0$，零特征值个数为$1$。其正惯性指数为$2$，负惯性指数为$0$，符号差为$2$。
由于两个实对称矩阵的正惯性指数和负惯性指数分别相等，根据实对称矩阵合同定理，$A$与$B$合同。
因此，本题的结论是：$A$与$B$合同。
公式：正惯性指数 $p = 2$，负惯性指数 $q = 0$，符号差 $p - q = 2$
提示：合同性只关心正负特征值的个数，不关心具体数值，因此特征值不同也可能合同。
目标：得出结论
综合前几步的分析，我们已分别判断了矩阵$A$与$B$的相似性和合同性。
首先，关于相似性：矩阵$A$的特征值为$\lambda_1=1$（二重根）和$\lambda_2=4$，而矩阵$B$的特征值为$\mu_1=1$（二重根）和$\mu_2=4$，两者特征值完全相同。但是，对于特征值$1$，$A$的几何重数（即特征值$1$对应的线性无关特征向量的个数）为$1$，而$B$的几何重数为$2$。由于几何重数不同，$A$与$B$不相似。
其次，关于合同性：$A$与$B$均为实对称矩阵，因此合同性等价于正负惯性指数相同。计算$A$的特征值：$1,1,4$，全部为正，故正惯性指数为$3$，负惯性指数为$0$。$B$的特征值同样为$1,1,4$，全部为正，故正惯性指数也为$3$，负惯性指数为$0$。因此$A$与$B$合同。
综上所述，$A$与$B$合同但不相似，对应选项(B)。
最终答案验证：取$A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&4\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&1&4\end{pmatrix}$，可验证$A$与$B$有相同的正惯性指数，故合同；但$A$可对角化（特征值$1$的几何重数为$2$），$B$不可对角化（特征值$1$的几何重数为$1$），故不相似。
公式：$$A \text{与} B \text{合同} \iff p_A=p_B,\; q_A=q_B; \quad A \text{与} B \text{相似} \iff \text{特征值相同且几何重数对应相等}$$
提示：判断相似必须检查几何重数，判断合同只需看正负惯性指数（或特征值符号）。