2008年考研数学三第4题

首先观察题目所给的阴影区域。该区域位于第一象限，由两条射线和两条圆弧围成。射线分别为极角 $\theta = 0$ 和 $\theta = v$（其中 $v$ 为某个常数，通常 $0 < v < \frac{\pi}{2}$），圆弧分别为半径 $r = 1$ 和 $r = u$（其中 $u > 1$）。因此，该区域在极坐标下可以简洁地描述为： $$\begin{cases} 1 \le r \le u, \\ 0 \le \theta \le v \end{cases}$$ 由于区域边界由射线和同心圆弧构成，极坐标变换 $x = r\cos\theta,\, y = r\sin\theta$ 能够使积分区域变为矩形区域 $[1,u] \times [0,v]$，从而大大简化积分限的确定。同时，被积函数通常也容易用 $r$ 和 $\theta$ 表示，且面积元 $\mathrm{d}\sigma = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$。因此，本题选择极坐标系进行积分计算。

为了将二重积分转化为极坐标下的累次积分，我们令 $x = r \cos \theta$，$y = r \sin \theta$。此时，直角坐标系下的区域 $D$ 对应于极坐标系下的区域 $D_{uv}$。根据题目条件，区域 $D$ 是由曲线 $x^2 + y^2 = 1$ 和 $x^2 + y^2 = u^2$（其中 $u > 1$）以及射线 $\theta = 0$ 和 $\theta = v$（$0 < v < 2\pi$）所围成的扇形环域。因此，在极坐标下，$r$ 的取值范围是从内圆半径 $1$ 到外圆半径 $u$，即 $1 \leq r \leq u$；$\theta$ 的取值范围是从 $0$ 到 $v$，即 $0 \leq \theta \leq v$。 进行变量替换时，面积元 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 需要乘以雅可比行列式的绝对值。对于极坐标变换，雅可比行列式为 $\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} = r$，因此 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y = r \, \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta$。 于是，原二重积分 $\iint_D f(x,y) \,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 在极坐标下化为累次积分： $$ \iint_D f(x,y) \,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_{\theta=0}^{v} \int_{r=1}^{u} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \, r \, \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta. $$ 此步骤的关键是正确确定积分限：$r$ 从 $1$ 到 $u$，$\theta$ 从 $0$ 到 $v$，并正确引入雅可比因子 $r$。

在极坐标变换下，原二重积分化为累次积分： $$ \iint_D f(x^2+y^2) \,dxdy = \int_{\theta=0}^{\pi} d\theta \int_{r=1}^{2} f(r^2) \cdot r \, dr. $$ 其中被积函数为 $f(r^2) \cdot r$。现在对 $r$ 的积分进行化简：将 $r$ 与 $f(r^2)$ 合并，即被积函数为 $r f(r^2)$。注意到积分变量为 $r$，而 $f(r^2)$ 是 $r$ 的复合函数。为了进一步简化，我们考虑变量替换。令 $u = r^2$，则 $du = 2r \, dr$，即 $r \, dr = \frac{1}{2} du$。当 $r=1$ 时，$u=1$；当 $r=2$ 时，$u=4$。于是 $r$ 积分变为： $$ \int_{r=1}^{2} r f(r^2) \, dr = \int_{u=1}^{4} f(u) \cdot \frac{1}{2} \, du. $$ 因此原积分化为： $$ \int_{0}^{\pi} d\theta \cdot \frac{1}{2} \int_{1}^{4} f(u) \, du = \frac{\pi}{2} \int_{1}^{4} f(u) \, du. $$ 注意：题目步骤目标要求“化简被积函数并分离变量”，此处我们通过变量替换将 $r f(r^2) dr$ 化简为 $\frac{1}{2} f(u) du$，并且积分限从 $1$ 到 $4$。同时，$\theta$ 积分独立为 $\pi$，实现了变量分离。最终积分表达式为 $\frac{\pi}{2} \int_{1}^{4} f(u) \, du$。

已知函数 $F(u,v) = v \cdot \int_{1}^{u} f(r^2) \, dr$，其中 $f$ 为连续函数。我们需要计算 $F$ 对 $u$ 的偏导数 $\frac{\partial F}{\partial u}$。 首先，将 $F$ 视为 $u$ 和 $v$ 的二元函数。由于 $v$ 在求偏导时视为常数，我们可以将 $v$ 提到偏导符号外面： $$ \frac{\partial F}{\partial u} = v \cdot \frac{\partial}{\partial u} \left( \int_{1}^{u} f(r^2) \, dr \right). $$ 现在，令 $G(u) = \int_{1}^{u} f(r^2) \, dr$，则 $G(u)$ 是积分上限为变量 $u$ 的变上限积分。根据微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式），若被积函数 $f(r^2)$ 连续，则 $G(u)$ 可导，且其导数为： $$ G'(u) = f(u^2). $$ 这是因为变上限积分 $\int_{a}^{u} g(r) \, dr$ 对 $u$ 的导数等于被积函数在 $u$ 处的值 $g(u)$。 因此， $$ \frac{\partial}{\partial u} \left( \int_{1}^{u} f(r^2) \, dr \right) = f(u^2). $$ 代入原式得： $$ \frac{\partial F}{\partial u} = v \cdot f(u^2). $$ 至此，我们完成了对 $u$ 的偏导数计算。最终结果简洁地表达了 $F$ 关于 $u$ 的变化率，其中 $v$ 作为乘数因子保留，而积分上限的导数直接由被积函数在 $u^2$ 处的值给出。 验证：若 $f$ 为具体函数（例如 $f(t)=t$），则 $F(u,v)=v\int_{1}^{u} r^2 dr = v \cdot \frac{u^3-1}{3}$，对 $u$ 求偏导得 $v \cdot u^2$，与公式 $v \cdot f(u^2)=v \cdot u^2$ 一致，验证正确。