📋 详细解题步骤
目标：建立被积函数的不等式关系
首先，我们需要建立被积函数 $|\ln t|[\ln(1+t)]^n$ 的一个便于处理的不等式关系。题目中给出的积分区间为 $[0,1]$，因此我们考虑 $t \in [0,1]$。
已知当 $0 \leq t \leq 1$ 时，有常用不等式 $\ln(1+t) \leq t$。这是因为函数 $f(t)=\ln(1+t)-t$ 在 $[0,1]$ 上满足 $f(0)=0$，且 $f'(t)=\frac{1}{1+t}-1 \leq 0$，所以 $f(t)$ 单调递减，从而 $f(t) \leq 0$，即 $\ln(1+t) \leq t$。
由于 $n$ 是正整数，且 $\ln(1+t) \geq 0$（因为 $t \geq 0$ 时 $1+t \geq 1$，对数非负），所以不等式两边同时取 $n$ 次幂，不等号方向不变，得到 $[\ln(1+t)]^n \leq t^n$。
另外，在 $t \in (0,1]$ 上，$\ln t \leq 0$，因此 $|\ln t| = -\ln t$。将上述不等式两边乘以非负的 $|\ln t|$，不等号方向仍然不变，于是得到：
$$|\ln t|[\ln(1+t)]^n \leq t^n |\ln t|.$$
这样，我们就将原被积函数放缩为一个更简单的形式 $t^n |\ln t|$，便于后续积分估计。注意，当 $t=0$ 时，$\ln t$ 无定义，但积分区间端点不影响定积分的值，我们只需考虑开区间 $(0,1]$ 上的不等式即可。
公式：$$|\ln t|[\ln(1+t)]^n \leq t^n |\ln t|, \quad t \in (0,1]$$
提示：利用 $\ln(1+t) \leq t$ 进行放缩是处理含对数幂次积分的常用技巧。
目标：比较两个积分的大小
在区间 $[0,1]$ 上，由第一步得到的不等式 $|\ln t| \cdot [\ln(1+t)]^n \leq t^n |\ln t|$ 对所有 $t \in (0,1]$ 成立。由于 $|\ln t|$ 在 $t=0$ 附近无界，但积分收敛，因此可以在区间 $[0,1]$ 上对不等式两边同时积分。注意，当 $t=0$ 时，被积函数视为极限值，不影响积分结果。于是有：
$$\int_0^1 |\ln t| \,[\ln(1+t)]^n \, dt \leq \int_0^1 t^n |\ln t| \, dt.$$
这个不等式表明，原积分 $I_n = \int_0^1 |\ln t| \,[\ln(1+t)]^n \, dt$ 被一个更简单的积分 $J_n = \int_0^1 t^n |\ln t| \, dt$ 所控制。接下来，我们需要计算 $J_n$ 的值，以便进一步估计 $I_n$ 的极限。
公式：$$\int_0^1 |\ln t| \,[\ln(1+t)]^n \, dt \leq \int_0^1 t^n |\ln t| \, dt$$
提示：利用第一步的不等式，直接对区间积分即可得到积分大小关系。
目标：计算右侧积分 ∫₀¹ tⁿ|ln t| dt
本步骤需要计算积分 $I_n = \int_0^1 t^n |\ln t| \, dt$。由于在区间 $(0,1]$ 上 $\ln t \leq 0$，因此 $|\ln t| = -\ln t$，于是积分化为：
$$ I_n = \int_0^1 t^n (-\ln t) \, dt = -\int_0^1 t^n \ln t \, dt. $$
这是一个含有对数函数的定积分，通常采用分部积分法求解。令 $u = \ln t$，$dv = t^n \, dt$，则 $du = \frac{1}{t} \, dt$，$v = \frac{t^{n+1}}{n+1}$。但注意这里被积函数是 $-t^n \ln t$，我们直接对 $\int t^n \ln t \, dt$ 进行分部积分：
$$ \int t^n \ln t \, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} \ln t - \int \frac{t^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{1}{t} \, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} \ln t - \frac{1}{n+1} \int t^n \, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} \ln t - \frac{t^{n+1}}{(n+1)^2} + C. $$
因此，定积分为：
$$ \int_0^1 t^n \ln t \, dt = \left[ \frac{t^{n+1}}{n+1} \ln t - \frac{t^{n+1}}{(n+1)^2} \right]_0^1. $$
计算上下限：当 $t \to 0^+$ 时，$t^{n+1} \ln t \to 0$（因为 $n+1 > 0$，对数增长慢于幂函数），且 $t^{n+1} \to 0$，所以下限值为 $0$；当 $t=1$ 时，$\ln 1 = 0$，第一项为 $0$，第二项为 $-\frac{1}{(n+1)^2}$。于是：
$$ \int_0^1 t^n \ln t \, dt = 0 - \frac{1}{(n+1)^2} - 0 = -\frac{1}{(n+1)^2}. $$
最后，原积分 $I_n = -\int_0^1 t^n \ln t \, dt = -\left( -\frac{1}{(n+1)^2} \right) = \frac{1}{(n+1)^2}. $$
因此，右侧积分的结果为 $\frac{1}{(n+1)^2}$。
公式：$$\int_0^1 t^n |\ln t| \, dt = \frac{1}{(n+1)^2}$$
提示：注意区间内 $\ln t \leq 0$，先去掉绝对值再分部积分，并利用极限处理下限。
目标：应用夹逼准则求极限
由前一步已证得不等式 $0 \leq u_n \leq \frac{1}{(n+1)^2}$ 对所有正整数 $n$ 成立。现在考虑数列 $\{u_n\}$ 当 $n \to \infty$ 时的极限。
构造两个辅助数列：
- 左端数列 $a_n = 0$，显然 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$。
- 右端数列 $b_n = \frac{1}{(n+1)^2}$，由于 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{(n+1)^2} = 0$，故 $\lim_{n \to \infty} b_n = 0$。
由夹逼准则（夹逼定理）：若存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有 $a_n \leq u_n \leq b_n$，且 $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = L$，则 $\lim_{n \to \infty} u_n = L$。
这里 $a_n = 0$，$b_n = \frac{1}{(n+1)^2}$，且 $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = 0$，因此由夹逼准则得：
$$\lim_{n \to \infty} u_n = 0.$$
最终答案验证：所求极限为 $0$，与直观判断一致。
公式：$$\lim_{n \to \infty} u_n = 0$$
提示：夹逼准则的关键是找到两个极限相等的简单数列夹住目标数列。