2010年考研数学三第2题
📝 题目
设 $y_{1}, y_{2}$ 是一阶线性非齐次微分方程 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$ 的两个特解，若常数 $\lambda, \mu$ 使 $\lambda y_{1}+\mu y_{2}$ 是该方程的解，$\lambda y_{1}-\mu y_{2}$ 是该方程对应的齐次方程的解，则
A
$\lambda=\displaystyle \frac{1}{2}, \mu=\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
B
$\lambda=-\displaystyle \frac{1}{2}, \mu=-\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
C
$\lambda=\displaystyle \frac{2}{3}, \mu=\displaystyle \frac{1}{3}$ ．
D
$\lambda=\displaystyle \frac{2}{3}, \mu=\displaystyle \frac{2}{3}$ ．
💡 答案解析
**答案**: （A）．
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**解析**:
若 $\lambda y_{1}+\mu y_{2}$ 为一阶非齐次线性微分方程 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$ 的解，则 $\lambda+\mu=1$ ，又若 $\lambda y_{1}-\mu y_{2}$ 为一阶齐次线性方程 $y^{\prime}+p(x) y=0$ 的解，则 $\lambda-\mu=0$ ，于是 $\lambda=\mu=\displaystyle\frac{1}{2}$ ，应选（A）。
方法点评：本题考查非齐次线性微分方程解的结构．注意如下两个重要结构： 若 $\varphi_{1}(x), \varphi_{2}(x), \cdots, \varphi_{s}(x)$ 为非齐次线性微分方程 $y^{(n)}+a_{n-1}(x) y^{(n-1)}+\cdots+ a_{1}(x) y^{\prime}+a_{0}(x) y=f(x)$ 的一组解，则
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：建立非齐次解的条件
设非齐次线性微分方程为 $y''+p(x)y'+q(x)=f(x)$，已知 $y_1$ 和 $y_2$ 是该方程的两个特解，即满足：
$$y_1''+p(x)y_1'+q(x)y_1=f(x),\quad y_2''+p(x)y_2'+q(x)y_2=f(x).$$
现考虑线性组合 $\lambda y_1+\mu y_2$，其中 $\lambda,\mu$ 为常数。将其代入原方程左端：
$$(\lambda y_1+\mu y_2)''+p(x)(\lambda y_1+\mu y_2)'+q(x)(\lambda y_1+\mu y_2).$$
利用导数的线性性质，展开得：
$$\lambda y_1''+\mu y_2''+p(x)(\lambda y_1'+\mu y_2')+q(x)(\lambda y_1+\mu y_2).$$
整理为：
$$\lambda\bigl(y_1''+p(x)y_1'+q(x)y_1\bigr)+\mu\bigl(y_2''+p(x)y_2'+q(x)y_2\bigr).$$
由于 $y_1,y_2$ 是特解，括号内均等于 $f(x)$，故上式等于：
$$\lambda f(x)+\mu f(x)=(\lambda+\mu)f(x).$$
要使 $\lambda y_1+\mu y_2$ 也是原非齐次方程的解，必须满足：
$$(\lambda+\mu)f(x)=f(x).$$
因为 $f(x)\not\equiv 0$（否则方程为齐次），两边除以 $f(x)$ 得到：
$$\lambda+\mu=1.$$
因此，线性组合 $\lambda y_1+\mu y_2$ 为非齐次方程的解的充要条件是 $\lambda+\mu=1$。
公式：\lambda+\mu=1
提示：将线性组合代入方程，利用特解性质化简，系数和必须为1。
步骤 2/4
目标：建立齐次解的条件
已知$y_1$和$y_2$是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且$\lambda y_1 - \mu y_2$是对应齐次方程的解。将$\lambda y_1 - \mu y_2$代入齐次方程，设齐次方程为$y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0$，则有：
$$(\lambda y_1 - \mu y_2)'' + P(x)(\lambda y_1 - \mu y_2)' + Q(x)(\lambda y_1 - \mu y_2) = 0.$$
利用导数的线性性质，上式可化为：
$$\lambda y_1'' - \mu y_2'' + P(x)(\lambda y_1' - \mu y_2') + Q(x)(\lambda y_1 - \mu y_2) = 0.$$
整理得：
$$\lambda [y_1'' + P(x)y_1' + Q(x)y_1] - \mu [y_2'' + P(x)y_2' + Q(x)y_2] = 0.$$
由于$y_1$和$y_2$是非齐次方程的特解，设非齐次方程为$y'' + P(x)y' + Q(x)y = f(x)$，则对$y_1$和$y_2$分别有：
$$y_1'' + P(x)y_1' + Q(x)y_1 = f(x),$$
$$y_2'' + P(x)y_2' + Q(x)y_2 = f(x).$$
代入上式得：
$$\lambda f(x) - \mu f(x) = 0,$$
即
$$(\lambda - \mu)f(x) = 0.$$
由于$f(x)$不恒为零（否则原方程为齐次方程，与题设非齐次矛盾），因此必有$\lambda - \mu = 0$，即$\lambda = \mu$。
由此得到齐次解的条件：$\lambda = \mu$，即$\lambda y_1 - \mu y_2$成为齐次解当且仅当$\lambda = \mu$。
公式：$$\lambda f(x) - \mu f(x) = 0 \Rightarrow \lambda - \mu = 0$$
提示：注意区分齐次与非齐次方程，代入时务必选择正确的方程形式。
步骤 3/4
目标：联立求解λ和μ
根据前两步得到的两个方程：
1. 由特征向量条件得：$\lambda + \mu = 1$。
2. 由线性无关条件得：$\lambda - \mu = 0$。
现在联立这两个方程：
$$
\begin{cases}
\lambda + \mu = 1 \\
\lambda - \mu = 0
\end{cases}
$$
将第二个方程改写为 $\lambda = \mu$，代入第一个方程：
$$
\mu + \mu = 1 \quad \Rightarrow \quad 2\mu = 1 \quad \Rightarrow \quad \mu = \frac{1}{2}.
$$
再由 $\lambda = \mu$ 得 $\lambda = \frac{1}{2}$。
因此，解得 $\lambda = \frac{1}{2}$，$\mu = \frac{1}{2}$。
验证：将 $\lambda = \frac{1}{2}$，$\mu = \frac{1}{2}$ 代入原方程组：
- 第一个方程：$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$，成立。
- 第二个方程：$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$，成立。
所以解正确。
公式：\begin{cases} \lambda + \mu = 1 \\ \lambda - \mu = 0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \lambda = \frac{1}{2},\; \mu = \frac{1}{2}
提示：将$\lambda = \mu$代入第一个方程，直接得到$2\mu=1$，快速求解。
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