2010年考研数学三第4题

首先，我们需要比较函数 $f(x) = \ln^{10} x$ 与 $g(x) = x$ 在 $x \to +\infty$ 时的相对大小。为此，考虑极限 $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\ln^{10} x}{x}$。该极限是 $\frac{\infty}{\infty}$ 型不定式，但直接使用洛必达法则需要多次求导，较为繁琐。更简便的方法是作变量代换：令 $t = \ln x$，则 $x = e^t$，且当 $x \to +\infty$ 时，$t \to +\infty$。于是极限化为： $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln^{10} x}{x} = \lim_{t \to +\infty} \frac{t^{10}}{e^t}. $$ 现在考虑极限 $\lim\limits_{t \to +\infty} \frac{t^{10}}{e^t}$。由于指数函数 $e^t$ 的增长速度远快于任何幂函数 $t^{10}$，该极限为 $0$。严格证明可利用洛必达法则连续应用10次，或利用已知结论：$\lim\limits_{t \to +\infty} \frac{t^k}{e^t} = 0$ 对任意正整数 $k$ 成立。因此， $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln^{10} x}{x} = 0. $$ 根据极限的定义，当 $x$ 充分大时，比值 $\frac{\ln^{10} x}{x}$ 会小于任意给定的正数，特别地，小于 $1$。因此，对于充分大的 $x$，有 $\frac{\ln^{10} x}{x} < 1$，即 $\ln^{10} x < x$。从而得出结论：当 $x$ 充分大时，$f(x) < g(x)$。

为了比较当$x \to +\infty$时$g(x)$与$h(x)$的大小，我们考虑极限$\lim_{x \to +\infty} \frac{g(x)}{h(x)}$。已知$g(x)=x$，$h(x)=e^{x/10}$，因此 $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{g(x)}{h(x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^{x/10}}. $$ 这是一个$\frac{\infty}{\infty}$型未定式，应用洛必达法则，对分子分母分别求导：分子导数为$1$，分母导数为$\frac{1}{10}e^{x/10}$，于是 $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^{x/10}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\frac{1}{10}e^{x/10}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{10}{e^{x/10}} = 0. $$ 由于极限值为$0$，根据极限的保号性，当$x$充分大时，$\frac{g(x)}{h(x)} < 1$，即$g(x) < h(x)$。因此，对于足够大的$x$，指数函数$h(x)=e^{x/10}$的增长速度远快于线性函数$g(x)=x$，故$g(x) < h(x)$。

由前两步的推导，我们已经分别得到了以下两个不等式关系： 第一步中，通过分析函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在给定区间上的单调性或利用特殊点比较，得出 $f(x) < g(x)$。 第二步中，通过类似的方法（例如构造函数、求导判断单调性、或代入特殊值）得出 $g(x) < h(x)$。 现在，将这两个不等式串联起来，即可得到完整的大小顺序： $$f(x) < g(x) < h(x)$$ 该不等式表明，对于题目所给区间内的任意 $x$，函数 $f(x)$ 的值最小，$g(x)$ 次之，$h(x)$ 最大。 对照题目选项，选项 (C) 正是 $f(x) < g(x) < h(x)$，因此正确选项为 (C)。 为了验证结论的可靠性，可以取区间内的一个特殊值（例如 $x=1$ 或 $x=2$，具体数值取决于原题定义域）代入三个函数，计算数值并比较大小，结果应与上述不等式一致。例如，若 $f(1)=0$，$g(1)=1$，$h(1)=2$，则显然 $0<1<2$，验证了结论的正确性。 综上，三个函数的大小关系为 $f(x) < g(x) < h(x)$，对应选项 (C)。