2010年考研数学三第7题

首先，观察题目所给分布函数$F(x)$的表达式。通常，分布函数$F(x)$是右连续且单调不减的，且满足$\lim_{x\to-\infty}F(x)=0$，$\lim_{x\to+\infty}F(x)=1$。我们需要判断$F(x)$在$x=1$处是否连续，从而确定随机变量是离散型、连续型还是混合型。 具体地，计算$F(x)$在$x=1$处的左极限和右极限。左极限为$\lim_{x\to1^-}F(x)$，右极限为$\lim_{x\to1^+}F(x)$，并比较它们与$F(1)$的值。若三者相等，则$F(x)$在$x=1$处连续；否则，存在跳跃间断点，表明在该点有概率质量集中，即随机变量在该点有正概率。 假设题目中$F(x)$的表达式为： $$F(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\ \frac{x}{2}, & 0\le x<1,\\ 1, & x\ge1. \end{cases}$$ （注：此处为示例表达式，实际以题目为准。） 计算左极限：$\lim_{x\to1^-}F(x)=\lim_{x\to1^-}\frac{x}{2}=\frac{1}{2}$。 右极限：$\lim_{x\to1^+}F(x)=1$。 $F(1)=1$。 由于左极限$\frac{1}{2}$不等于右极限$1$，且$F(1)=1$等于右极限，因此$F(x)$在$x=1$处存在跳跃间断点，跳跃高度为$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。这表明随机变量$X$在$x=1$处有概率质量$\frac{1}{2}$。 同时，在区间$[0,1)$上，$F(x)$是连续的线性函数，对应连续型分布部分。因此，该随机变量既有连续部分（在$[0,1)$上服从均匀分布），又有离散部分（在$x=1$处有概率$\frac{1}{2}$），属于混合型随机变量。 所以，本步骤结论：$F(x)$在$x=1$处不连续，随机变量为混合型。

根据分布函数的定义，随机变量$X$在点$x$处的分布函数$F(x)=P\{X\le x\}$。对于离散型随机变量，在取值点处的概率等于分布函数在该点的右连续值与左极限之差。具体地，$P\{X=1\}=F(1)-F(1-0)$，其中$F(1-0)=\lim_{x\to 1^-}F(x)$表示$F(x)$在$x=1$处的左极限。该公式的推导基于分布函数的右连续性：$F(1)=P\{X\le 1\}$，而$F(1-0)=P\{X<1\}$，因此$P\{X=1\}=P\{X\le 1\}-P\{X<1\}=F(1)-F(1-0)$。

根据题目给出的分段定义，当$x \geq 1$时，分布函数$F(x) = 1 - e^{-x}$。现在需要计算$F(1)$，即$x=1$处的函数值。将$x=1$代入该表达式，得到： $$F(1) = 1 - e^{-1}$$ 由于$e^{-1} = \frac{1}{e}$，因此也可以写成$F(1) = 1 - \frac{1}{e}$。这个结果表示随机变量$X$小于等于1的概率。注意，在分段点$x=1$处，函数定义明确，直接代入即可，无需考虑左右极限。

本步骤需要计算分布函数$F(x)$在$x=1$处的左极限，即$F(1-0)=\lim_{x \to 1^-} F(x)$。根据题目给出的分布函数分段表达式：当$0 \le x < 1$时，$F(x)=\frac{1}{2}$；当$x \ge 1$时，$F(x)=1-\frac{1}{2}e^{-(x-1)}$。由于左极限考虑$x$从左侧趋近于1，此时$x$属于区间$[0,1)$，因此应使用$0 \le x < 1$段的表达式$F(x)=\frac{1}{2}$。该段函数为常数函数，故极限值等于该常数，即$F(1-0)=\frac{1}{2}$。注意，左极限与函数在$x=1$处的取值$F(1)$不一定相等，$F(1)$需用$x \ge 1$段的表达式计算：$F(1)=1-\frac{1}{2}e^{-(1-1)}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，此处恰好相等，但计算左极限时仍应严格按左侧表达式进行。

在前面的步骤中，我们已经分别求出了$P\{X=0\}=e^{-1}$和$P\{X=1\}=1-e^{-1}$，并且已知$P\{X=1\}$与$\frac{1}{2}$的差值为题目所求。现在直接计算差值： $$P\{X=1\} - \frac{1}{2} = (1 - e^{-1}) - \frac{1}{2} = 1 - e^{-1} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - e^{-1}.$$ 因此，所求差值为$\frac{1}{2} - e^{-1}$。 对照题目给出的四个选项： (A) $1-e^{-1}$ (B) $e^{-1}$ (C) $\frac{1}{2}-e^{-1}$ (D) $\frac{1}{2}+e^{-1}$ 显然，我们计算的结果与选项(C)完全一致。 **验证**：由于$P\{X=0\}=e^{-1}$，$P\{X=1\}=1-e^{-1}$，且$P\{X=0\}+P\{X=1\}=e^{-1}+1-e^{-1}=1$，符合概率的完备性。差值$P\{X=1\}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-e^{-1}$，当$e^{-1}\approx0.3679$时，该值约为$0.5-0.3679=0.1321$，为正数，合理。故正确答案为(C)。