2011年考研数学三第2题

已知原极限为 $\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2f(x)-2f(x^3)}{x^3}$。为了简化计算，我们利用极限的线性性质将其拆分为两个极限之差。具体地，将分子中的两项分别除以分母，得到： $$ \lim_{x\to0}\frac{x^2f(x)-2f(x^3)}{x^3} = \lim_{x\to0}\frac{x^2f(x)}{x^3} - \lim_{x\to0}\frac{2f(x^3)}{x^3}. $$ 这里，第一个极限可化简为 $\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x}$，第二个极限中常数因子 $2$ 可提到极限号外，即 $2\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x^3)}{x^3}$。注意，拆分的前提是拆分后的两个极限各自存在（或至少为无穷大），但本题中我们将在后续步骤中分别处理它们的值，并最终合并结果。此步骤仅完成形式上的拆分，为后续利用已知条件（如 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的性质）做准备。

首先，我们处理第一项极限 $\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x}$。由于题目中已知 $f(0)=0$，且 $f'(0)$ 存在，我们可以利用导数的定义来化简这个极限。根据导数的定义，$f'(0)=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x}$。因此，第一项极限直接等于 $f'(0)$。 为了更清晰地展示推导过程，我们写出： $$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0).$$ 这里用到了 $f(0)=0$ 这一条件。所以第一项极限的结果就是 $f'(0)$。 注意：这个结果是在 $f'(0)$ 存在的条件下得到的，题目中已经隐含了 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，因此该极限存在且等于导数。

本步骤的目标是计算第二项极限 $\lim\limits_{x\to0}\frac{2f(x^3)}{x^3}$。为了简化计算，我们采用变量代换的方法。令 $t = x^3$，则当 $x \to 0$ 时，$t \to 0$。原极限中的分子 $f(x^3)$ 变为 $f(t)$，分母 $x^3$ 变为 $t$。因此，第二项极限可以改写为： $$ \lim_{x\to0}\frac{2f(x^3)}{x^3} = 2\lim_{t\to0}\frac{f(t)}{t}. $$ 根据导数的定义，函数 $f$ 在 $0$ 处的导数 $f'(0)$ 定义为 $\lim\limits_{t\to0}\frac{f(t)-f(0)}{t}$。由于题目中隐含 $f(0)=0$（通常由极限存在的条件得出，或由题目上下文可知），因此 $\lim\limits_{t\to0}\frac{f(t)}{t} = f'(0)$。于是，第二项极限的结果为： $$ 2\lim_{t\to0}\frac{f(t)}{t} = 2f'(0). $$ 至此，第二项极限计算完成。注意，这里假设了 $f$ 在 $0$ 处可导，且 $f(0)=0$，这是题目条件所保证的。

在前三步中，我们已经将原极限表达式逐步化简为： $$ \lim_{x \to 0} \frac{f(2x) - 2f(x) + f(0)}{x^2} = f'(0) - 2f'(0). $$ 现在进行合并计算： $$ f'(0) - 2f'(0) = (1 - 2)f'(0) = -f'(0). $$ 因此，原极限的值为 $-f'(0)$。 对照题目给出的四个选项： (A) $f'(0)$ (B) $-f'(0)$ (C) $f(0)$ (D) $-f(0)$ 显然，我们得到的结果与选项 (B) 完全一致。 **验证**：由于推导过程中每一步都使用了极限运算法则和导数的定义，且 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导（题目条件），因此 $-f'(0)$ 是正确结果。例如，取一个满足条件的简单函数 $f(x)=x$，则 $f'(0)=1$，原极限为 $-1$，而 $-f'(0)=-1$，与选项 (B) 吻合。 最终答案为 (B)。