2011年考研数学三第9题

原极限表达式为 $\lim_{x \to 0} \left(1+3x\right)^{\frac{t}{x}}$，其中 $t$ 为常数。为了应用重要极限 $\lim_{u \to 0} (1+u)^{1/u} = e$，我们需要将底数 $(1+3x)$ 的指数进行变形。首先，将指数 $\frac{t}{x}$ 改写为 $\frac{1}{3x} \cdot 3t$，即： $$\left(1+3x\right)^{\frac{t}{x}} = \left(1+3x\right)^{\frac{1}{3x} \cdot 3t} = \left[ (1+3x)^{\frac{1}{3x}} \right]^{3t}.$$ 这里的关键是构造出 $(1+3x)^{1/(3x)}$ 的形式，当 $x \to 0$ 时，$3x \to 0$，因此令 $u = 3x$，则 $u \to 0$，于是 $(1+u)^{1/u} \to e$。这样，原极限就转化为 $\lim_{x \to 0} \left[ (1+3x)^{1/(3x)} \right]^{3t}$。注意，在变形过程中，指数运算的恒等性保证了表达式等价，且 $t$ 为常数，因此极限运算可以进一步处理。此步骤为后续应用重要极限奠定了基础，将复杂指数形式化为幂指函数的标准形式。

本步骤的目标是计算极限 $\lim_{t \to 0} (1+3t)^{1/t}$。首先，观察该极限的形式与重要极限 $\lim_{u \to 0} (1+u)^{1/u} = e$ 相似。为了利用这一重要极限，我们进行变量代换。令 $u = 3t$，则当 $t \to 0$ 时，$u \to 0$，且 $t = \frac{u}{3}$。于是原极限可改写为： $$ \lim_{t \to 0} (1+3t)^{1/t} = \lim_{u \to 0} (1+u)^{1/(u/3)} = \lim_{u \to 0} (1+u)^{3/u}. $$ 进一步，利用指数运算法则，有 $(1+u)^{3/u} = \left[(1+u)^{1/u}\right]^3$。因此， $$ \lim_{u \to 0} (1+u)^{3/u} = \left[\lim_{u \to 0} (1+u)^{1/u}\right]^3 = e^3. $$ 所以，$\lim_{t \to 0} (1+3t)^{1/t} = e^3$。 回到原函数 $f(x)$ 的表达式，由第一步已知 $f(x) = x \cdot \lim_{t \to 0} (1+3t)^{1/t}$，代入极限结果得 $f(x) = x \cdot e^{3x}$。注意，这里需要特别说明：在第一步中，极限表达式中的指数实际上依赖于 $x$，即原极限为 $\lim_{t \to 0} (1+3t)^{x/t}$。当 $x$ 为常数时，上述推导中 $\lim_{t \to 0} (1+3t)^{x/t} = \left[\lim_{t \to 0} (1+3t)^{1/t}\right]^x = (e^3)^x = e^{3x}$。因此最终得到 $f(x) = x \cdot e^{3x}$。

本步骤的目标是对函数 $f(x)=x e^{3x}$ 求导。由于该函数是乘积形式，我们应用乘积法则：若 $u(x)=x$，$v(x)=e^{3x}$，则 $f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$。 首先求 $u'(x)$：$u(x)=x$，所以 $u'(x)=1$。 其次求 $v'(x)$：$v(x)=e^{3x}$，这是复合函数，外层为指数函数 $e^t$，内层为 $t=3x$。根据链式法则，$v'(x)=e^{3x} \cdot (3x)' = e^{3x} \cdot 3 = 3e^{3x}$。 代入乘积法则： $$f'(x)=1 \cdot e^{3x} + x \cdot 3e^{3x} = e^{3x} + 3x e^{3x}.$$ 提取公因式 $e^{3x}$，得到最终结果： $$f'(x)=(1+3x)e^{3x}.$$ 至此，导数已求出。作为最后一步，我们可以验证结果的合理性：当 $x=0$ 时，原函数 $f(0)=0$，导数 $f'(0)=1$，符合 $x e^{3x}$ 在原点附近的线性近似斜率；另外，对结果再次求导可验证与原函数二阶导的一致性（此处略）。最终答案为 $f'(x)=(1+3x)e^{3x}$。