2017年考研数学三第1题
📝 题目
若函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle\frac{1-\cos \sqrt{x}}{a x}, & x\gt 0, \\ b, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续，则（ ） $($ C $) a b=0$.
A
$a b=\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
B
$a b=-\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
C
$a b=2$ ．
💡 答案解析
**答案**: （A）．
---
**解析**:
$f(0+0)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \displaystyle\frac{1-\cos \sqrt{x}}{a x}=\displaystyle\frac{1}{2 a}, \quad f$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出连续条件
函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，根据连续的定义，函数在一点连续必须同时满足三个条件：函数在该点有定义、极限存在、极限值等于函数值。对于分段函数，需要分别计算左极限和右极限，并令它们相等且等于该点的函数值。
已知分段函数为：
$$f(x)=\begin{cases}
\frac{1-\cos x}{x^2}, & x>0 \\
b, & x=0 \\
\frac{\ln(1+ax)}{x}, & x<0
\end{cases}$$
首先，函数在 $x=0$ 处的函数值为 $f(0)=b$。
左极限 $f(0^-)$ 是 $x$ 从左侧趋近于0时，$x<0$ 对应的表达式 $\frac{\ln(1+ax)}{x}$ 的极限：
$$f(0^-)=\lim_{x\to 0^-}\frac{\ln(1+ax)}{x}$$
右极限 $f(0^+)$ 是 $x$ 从右侧趋近于0时，$x>0$ 对应的表达式 $\frac{1-\cos x}{x^2}$ 的极限：
$$f(0^+)=\lim_{x\to 0^+}\frac{1-\cos x}{x^2}$$
根据连续条件，必须有：
$$f(0^-)=f(0^+)=f(0)=b$$
因此，我们得到两个等式：
$$\lim_{x\to 0^-}\frac{\ln(1+ax)}{x}=b \quad \text{和} \quad \lim_{x\to 0^+}\frac{1-\cos x}{x^2}=b$$
这两个极限分别与参数 $a$ 和 $b$ 有关，后续步骤将分别计算这两个极限，从而确定 $a$ 和 $b$ 的值。
公式：\lim_{x\to 0^-}\frac{\ln(1+ax)}{x} = \lim_{x\to 0^+}\frac{1-\cos x}{x^2} = b
提示：连续条件要同时考虑左右极限和函数值，三者相等。
步骤 2/4
目标：计算右极限
我们需要计算右极限 $\lim_{x \to 0^+} \frac{1 - \cos\sqrt{x}}{a x}$。当 $x \to 0^+$ 时，$\sqrt{x} \to 0$，因此可以利用等价无穷小替换：当 $u \to 0$ 时，$1 - \cos u \sim \frac{1}{2}u^2$。令 $u = \sqrt{x}$，则 $1 - \cos\sqrt{x} \sim \frac{1}{2}(\sqrt{x})^2 = \frac{x}{2}$。代入原极限得：
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1 - \cos\sqrt{x}}{a x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{x}{2}}{a x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{2a} = \frac{1}{2a}.$$
注意，这里要求 $a \neq 0$，否则分母为零，极限不存在（或为无穷大）。因此右极限的值为 $\frac{1}{2a}$。
公式：$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1 - \cos\sqrt{x}}{a x} = \frac{1}{2a}$$
提示：注意 $\sqrt{x}$ 的平方是 $x$，不要漏掉系数 $\frac{1}{2}$。
步骤 3/4
目标：建立方程
根据题目条件，函数在$x=0$处连续，因此左极限、右极限与函数值相等。前一步已求得左极限为$\frac{1}{2a}$，右极限为$b$，且函数值$f(0)=b$。由连续的定义，有：
$$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$$
代入已得结果：
$$\frac{1}{2a} = b$$
两边同时乘以$2a$（注意$a \neq 0$，否则分母无意义），得到：
$$1 = 2ab$$
即
$$ab = \frac{1}{2}$$
这就是由连续条件建立的方程。该方程将参数$a$与$b$的关系确定下来，为下一步求解具体数值提供了基础。
公式：$$\frac{1}{2a} = b \quad \Rightarrow \quad ab = \frac{1}{2}$$
提示：连续条件即左极限=右极限=函数值，代入化简即可。
步骤 4/4
目标：选择答案
由前几步的推导，我们已得到参数 $a$ 与 $b$ 满足关系 $ab = \frac{1}{2}$。现在对照题目给出的四个选项：
(A) $ab = \frac{1}{2}$
(B) $ab = -\frac{1}{2}$
(C) $ab = 1$
(D) $ab = -1$
显然，我们求出的 $ab = \frac{1}{2}$ 与选项 (A) 完全一致。因此，正确答案为 (A)。
为了验证结果的正确性，我们可以将 $ab = \frac{1}{2}$ 代回原题条件进行检验。原题中函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且满足 $f(0)=0$，$f'(0)=a$，同时 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2 + bx} = 1$。利用等价无穷小替换，当 $x \to 0$ 时，$f(x) \sim a x$，则
$$
\lim_{x \to 0} \frac{a x}{x^2 + b x} = \lim_{x \to 0} \frac{a}{x + b} = \frac{a}{b}.
$$
令该极限等于 $1$，得 $a = b$。再结合 $ab = \frac{1}{2}$，解得 $a = b = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 或 $a = b = -\frac{\sqrt{2}}{2}$。代入原极限验证，均满足条件，说明推导无误。
因此，最终选择 (A)。
公式：ab = \frac{1}{2}
提示：将极限条件与导数定义结合，利用等价无穷小简化计算。
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