2017年考研数学三第3题

已知函数 $f(x)$ 满足 $f(x)f'(x)>0$。该不等式表明 $f(x)$ 与 $f'(x)$ 的乘积恒为正数。由于实数乘积为正的条件是两数同号（同为正或同为负），因此可得：对于任意 $x$，$f(x)$ 与 $f'(x)$ 要么同时大于 $0$，要么同时小于 $0$。 进一步分析： - 若 $f(x)>0$ 且 $f'(x)>0$，则 $f(x)$ 为正且单调递增； - 若 $f(x)<0$ 且 $f'(x)<0$，则 $f(x)$ 为负且单调递减。 注意，这里“同号”是整体性质，即在整个定义域内 $f(x)$ 和 $f'(x)$ 的符号保持一致，不能出现一部分区间同正、另一部分区间同负的情况（否则乘积会在符号变化处穿过 $0$，与恒正矛盾）。因此，$f(x)$ 的单调性在整个定义域内是一致的：要么恒增（当 $f(x)>0$ 时），要么恒减（当 $f(x)<0$ 时）。 该条件还隐含了 $f(x)$ 不可能有零点，因为若存在 $x_0$ 使得 $f(x_0)=0$，则 $f(x_0)f'(x_0)=0$，与 $>0$ 矛盾。故 $f(x)$ 恒正或恒负。 综上，条件 $f(x)f'(x)>0$ 等价于：$f(x)$ 恒正且严格单调递增，或 $f(x)$ 恒负且严格单调递减。

根据题目条件，已知函数$f(x)$在区间$I$上可导，且$f(x) \neq 0$。我们需要分两种情况讨论其单调性。 **情况一：** 若$f(x) > 0$且$f'(x) > 0$。 由于$f(x) > 0$，函数值恒为正；又$f'(x) > 0$，导数为正，根据导数与单调性的关系，函数$f(x)$在区间$I$上严格单调递增。即对任意$x_1 < x_2$，有$f(x_1) < f(x_2)$。 **情况二：** 若$f(x) < 0$且$f'(x) < 0$。 此时$f(x)$恒为负，且导数为负，因此函数$f(x)$在区间$I$上严格单调递减。即对任意$x_1 < x_2$，有$f(x_1) > f(x_2)$。 **补充说明：** 若$f(x) > 0$且$f'(x) < 0$，则函数单调递减但函数值为正；若$f(x) < 0$且$f'(x) > 0$，则函数单调递增但函数值为负。这两种情况虽然也满足单调性，但题目给定的条件限定为前两种情形，因此我们只讨论题目指定的组合。 综上，通过分情况讨论，我们明确了在给定条件下函数的单调性：当$f(x)>0$且$f'(x)>0$时，$f(x)$单调递增；当$f(x)<0$且$f'(x)<0$时，$f(x)$单调递减。

已知函数$f(x)$在$\mathbb{R}$上恒正且单调递增，即对任意$x_1 < x_2$，有$0 < f(x_1) < f(x_2)$。考虑绝对值函数$|f(x)|$，由于$f(x)>0$恒成立，故$|f(x)| = f(x)$，因此$|f(x)|$在$\mathbb{R}$上也是单调递增的。\n\n另一方面，若$f(x)$在$\mathbb{R}$上恒负且单调递减，即对任意$x_1 < x_2$，有$f(x_1) > f(x_2) > 0$（注意$f(x)$为负，故绝对值越大值越小），则$|f(x)| = -f(x)$。由于$f(x)$递减，则$-f(x)$递增，因此$|f(x)|$在$\mathbb{R}$上单调递增。\n\n综合两种情况，无论$f(x)$恒正递增还是恒负递减，其绝对值函数$|f(x)|$在$\mathbb{R}$上都是单调递增的。这一结论在后续步骤中用于判断复合函数的单调性。

由步骤3已知，函数$|f(x)|$在区间$[-1,1]$上单调递增。单调递增的定义是：对于任意$x_1 < x_2$，有$|f(x_1)| \leq |f(x_2)|$。现在我们需要比较$|f(1)|$与$|f(-1)|$的大小。由于$-1 < 1$，且$|f(x)|$单调递增，因此有$|f(-1)| \leq |f(1)|$。但题目中给出的条件是$|f(x)|$严格单调递增（即单调递增且不存在常数区间），所以实际上$|f(-1)| < |f(1)|$。因此，$|f(1)| > |f(-1)|$。这个结论将用于下一步的积分比较中。

在前面的步骤中，我们分别计算了三个积分：$I_1 = \iint_{D_1} \sqrt[3]{1-x^2-y^2} \, dxdy$，$I_2 = \iint_{D_2} \sqrt[3]{1-x^2-y^2} \, dxdy$，$I_3 = \iint_{D_3} \sqrt[3]{1-x^2-y^2} \, dxdy$，其中$D_1: x^2+y^2 \leq 1$，$D_2: x^2+y^2 \leq 2$，$D_3: x^2+y^2 \leq 3$。由于被积函数$f(x,y)=\sqrt[3]{1-x^2-y^2}$在区域$D_1$内非负（因为$1-x^2-y^2 \geq 0$），在$D_2 \setminus D_1$和$D_3 \setminus D_1$内为负（因为$1-x^2-y^2 < 0$），因此积分值的大小取决于正负部分的抵消。具体地，$I_1 > 0$，而$I_2$和$I_3$由于包含了负值区域，其值小于$I_1$。进一步比较$I_2$和$I_3$：$D_3$比$D_2$多出的环形区域$\{2 \leq x^2+y^2 \leq 3\}$上被积函数为负，因此$I_3 < I_2$。综上，三个积分的大小关系为$I_1 > I_2 > I_3$。根据题目选项，选项（C）$I_1 > I_2 > I_3$正确。验证：取特殊点，例如在原点处被积函数值为1，在半径为$\sqrt{2}$的圆周上被积函数值为$\sqrt[3]{-1}=-1$，在半径为$\sqrt{3}$的圆周上被积函数值为$\sqrt[3]{-2} < -1$，直观上积分值随半径增大而减小，与结论一致。