2017年考研数学三第5题

首先，根据题目条件，令 $\alpha$ 为 $n$ 维单位列向量，即 $\alpha^{\mathrm{T}}\alpha = 1$。构造矩阵 $A = \alpha \alpha^{\mathrm{T}}$，这是一个 $n \times n$ 矩阵。 接下来计算 $A^2$： $$A^2 = (\alpha \alpha^{\mathrm{T}})(\alpha \alpha^{\mathrm{T}}) = \alpha (\alpha^{\mathrm{T}} \alpha) \alpha^{\mathrm{T}}$$ 由于 $\alpha^{\mathrm{T}} \alpha = 1$，代入得： $$A^2 = \alpha \cdot 1 \cdot \alpha^{\mathrm{T}} = \alpha \alpha^{\mathrm{T}} = A$$ 因此 $A^2 = A$，这说明 $A$ 是幂等矩阵。幂等矩阵的特征值只能是 $0$ 或 $1$，且其秩等于迹。 另外，由于 $A$ 是秩为1的矩阵（因为 $\alpha$ 是非零向量），且 $\operatorname{tr}(A) = \operatorname{tr}(\alpha \alpha^{\mathrm{T}}) = \alpha^{\mathrm{T}} \alpha = 1$，所以 $A$ 的特征值为 $1$（一个）和 $0$（$n-1$ 个）。这一性质将在后续步骤中用于求解矩阵函数。

设矩阵$A$的特征值为$\lambda$，对应的特征向量为$\boldsymbol{x}$（$\boldsymbol{x} \neq \mathbf{0}$），则有$A\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}$。由已知条件$A^2 = A$，两边同时左乘$\boldsymbol{x}$得$A^2\boldsymbol{x} = A\boldsymbol{x}$，即$A(A\boldsymbol{x}) = A\boldsymbol{x}$。代入$A\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}$，得到$A(\lambda \boldsymbol{x}) = \lambda \boldsymbol{x}$，即$\lambda A\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}$。再次代入$A\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}$，得$\lambda (\lambda \boldsymbol{x}) = \lambda \boldsymbol{x}$，即$\lambda^2 \boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}$。由于$\boldsymbol{x} \neq \mathbf{0}$，两边约去$\boldsymbol{x}$得$\lambda^2 = \lambda$，解得$\lambda = 0$或$\lambda = 1$。因此，矩阵$A$的特征值只可能是$0$或$1$。 接下来需要确定特征值$0$和$1$的重数。已知$A = \alpha \alpha^\mathrm{T}$，其中$\alpha$是$n$维列向量，且$\alpha^\mathrm{T}\alpha = 1$。矩阵$A$的迹$\mathrm{tr}(A)$等于$\alpha^\mathrm{T}\alpha$，即$\mathrm{tr}(A) = 1$。另一方面，矩阵的迹等于所有特征值之和（计重数）。设特征值$1$的重数为$k$，特征值$0$的重数为$n-k$，则特征值之和为$k \cdot 1 + (n-k) \cdot 0 = k$。由迹等于特征值之和得$k = 1$。因此，特征值$1$的重数为$1$，特征值$0$的重数为$n-1$。 综上，矩阵$A$的特征值为：$1$（单重）和$0$（$n-1$重）。

已知矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda_1=1,\lambda_2=2,\lambda_3=3$。对于形如 $E+kA$ 的矩阵（$k$ 为常数），其特征值为 $1+k\lambda_i$，其中 $\lambda_i$ 是 $A$ 的特征值。 分别计算各选项： **选项 (A)：** $E-A$，即 $k=-1$。特征值为 $1+(-1)\lambda_i = 1-\lambda_i$。代入 $\lambda_i=1,2,3$ 得： $$1-1=0,\quad 1-2=-1,\quad 1-3=-2.$$ 故特征值为 $0,-1,-2$。 **选项 (B)：** $E+A$，即 $k=1$。特征值为 $1+1\cdot\lambda_i = 1+\lambda_i$。代入得： $$1+1=2,\quad 1+2=3,\quad 1+3=4.$$ 故特征值为 $2,3,4$。 **选项 (C)：** $E+2A$，即 $k=2$。特征值为 $1+2\lambda_i$。代入得： $$1+2\cdot1=3,\quad 1+2\cdot2=5,\quad 1+2\cdot3=7.$$ 故特征值为 $3,5,7$。 **选项 (D)：** $E-2A$，即 $k=-2$。特征值为 $1+(-2)\lambda_i = 1-2\lambda_i$。代入得： $$1-2\cdot1=-1,\quad 1-2\cdot2=-3,\quad 1-2\cdot3=-5.$$ 故特征值为 $-1,-3,-5$。 至此，四个选项矩阵的特征值均已求出。

由前一步已知矩阵 $E - A$ 的特征值为 $\lambda_1 = 1$（$n-1$ 重）和 $\lambda_2 = 0$（1 重）。矩阵可逆的充要条件是所有特征值均不为零。由于 $E - A$ 有一个特征值为 $0$，其行列式等于所有特征值的乘积，即 $\det(E - A) = 1^{n-1} \times 0 = 0$，故 $E - A$ 不可逆。对应选项（A）。 对于其他选项： - 选项（B）：$E + A$ 的特征值为 $1 + \lambda_i$，其中 $\lambda_i$ 为 $A$ 的特征值。$A$ 的特征值为 $1$（$n-1$ 重）和 $1-n$（1 重），故 $E + A$ 的特征值为 $2$（$n-1$ 重）和 $2-n$（1 重）。当 $n \geq 3$ 时 $2-n \neq 0$，且 $2 \neq 0$，所有特征值非零，因此 $E + A$ 可逆。 - 选项（C）：$E - 2A$ 的特征值为 $1 - 2\lambda_i$，即 $1 - 2 \times 1 = -1$（$n-1$ 重）和 $1 - 2(1-n) = 2n - 1$（1 重）。由于 $n \geq 2$，$2n-1 \geq 3 \neq 0$，$-1 \neq 0$，故可逆。 - 选项（D）：$2E - A$ 的特征值为 $2 - \lambda_i$，即 $2 - 1 = 1$（$n-1$ 重）和 $2 - (1-n) = n+1$（1 重）。$n \geq 2$ 时 $n+1 \geq 3 \neq 0$，$1 \neq 0$，故可逆。 因此，唯一不可逆的矩阵是 $E - A$，对应选项（A）。最终答案选（A）。