2018年考研数学三第18题

首先，回忆余弦函数的麦克劳林展开式（即关于$x=0$的幂级数展开）： $$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}$$ 该展开式对所有实数$x$成立。 现在需要展开$\cos 2x$，只需将上述展开式中的$x$替换为$2x$： $$\cos 2x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} (2x)^{2n}$$ 计算$(2x)^{2n}$： $$(2x)^{2n} = 2^{2n} \cdot x^{2n} = (2^2)^n \cdot x^{2n} = 4^n \cdot x^{2n}$$ 因此，得到$\cos 2x$的幂级数展开式为： $$\cos 2x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} \cdot 4^n \cdot x^{2n}$$ 展开前几项以验证： - 当$n=0$时，项为$\frac{(-1)^0}{0!} \cdot 4^0 \cdot x^0 = 1$； - 当$n=1$时，项为$\frac{(-1)^1}{2!} \cdot 4^1 \cdot x^2 = -\frac{4}{2}x^2 = -2x^2$； - 当$n=2$时，项为$\frac{(-1)^2}{4!} \cdot 4^2 \cdot x^4 = \frac{1}{24} \cdot 16 \cdot x^4 = \frac{2}{3}x^4$； 而$\cos 2x$的泰勒展开为$1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 - \cdots$，与上述结果一致，验证正确。 至此，我们完成了$\cos 2x$的幂级数展开，为后续步骤（如积分、求和等）做好准备。

首先，回忆已知的幂级数展开式：当 $|x|<1$ 时，有 $$ \frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots. $$ 为了得到 $-\frac{1}{(1+x)^2}$ 的展开式，我们对上式两边关于 $x$ 逐项求导。注意，逐项求导在收敛区间 $|x|<1$ 内是合法的。求导得： $$ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1+x}\right) = \frac{d}{dx}\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n. $$ 左边： $$ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1+x}\right) = -\frac{1}{(1+x)^2}. $$ 右边逐项求导： $$ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{d}{dx} x^n = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n n x^{n-1}. $$ 令 $k = n-1$，则 $n = k+1$，当 $n=1$ 时 $k=0$，上式化为 $$ \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k+1} (k+1) x^{k}. $$ 因此得到 $$ -\frac{1}{(1+x)^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1} (n+1) x^{n}, \quad |x|<1. $$ 这就是所求的幂级数展开式。

本步骤的目标是将方程左边的两项合并为统一的幂级数形式 $\sum a_n x^n$。左边第一项为 $\cos 2x$ 的麦克劳林展开： $$ \cos 2x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} (2x)^{2n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} 4^n x^{2n}. $$ 左边第二项为 $-\frac{1}{(1+x)^2}$ 的展开。已知 $\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$，两边对 $x$ 求导得 $-\frac{1}{(1+x)^2} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n n x^{n-1}$，即 $$ -\frac{1}{(1+x)^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1} (n+1) x^n. $$ 因此左边两项之和为 $$ \cos 2x - \frac{1}{(1+x)^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} 4^n x^{2n} + \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1} (n+1) x^n. $$ 将右边写成 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的形式，则 $a_n$ 需要分情况讨论：当 $n$ 为偶数时，$x^n$ 项来自两个级数；当 $n$ 为奇数时，$x^n$ 项仅来自第二个级数。具体地，令 $n=2k$（$k=0,1,2,\ldots$），则 $x^{2k}$ 的系数为 $$ a_{2k} = \frac{(-1)^k}{(2k)!} 4^k + (-1)^{2k+1} (2k+1) = \frac{(-1)^k}{(2k)!} 4^k - (2k+1). $$ 令 $n=2k+1$（$k=0,1,2,\ldots$），则 $x^{2k+1}$ 的系数为 $$ a_{2k+1} = (-1)^{2k+2} (2k+2) = (2k+2). $$ 因此合并后的级数为 $$ \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = \sum_{k=0}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^k}{(2k)!} 4^k - (2k+1) \right] x^{2k} + \sum_{k=0}^{\infty} (2k+2) x^{2k+1}. $$ 注意题目给出的步骤概要中，将左边两项相减后得到 $\sum [a_n - (-1)^{n+1}(n+1)] x^n = \sum \frac{(-1)^n}{(2n)!} 4^n x^{2n}$，这是另一种等价写法，其中 $a_n$ 是待定系数。实际上，若设 $\sum a_n x^n$ 为左边两项之和，则移项可得 $\sum a_n x^n - \sum (-1)^{n+1}(n+1) x^n = \sum \frac{(-1)^n}{(2n)!} 4^n x^{2n}$，即 $\sum [a_n - (-1)^{n+1}(n+1)] x^n = \sum \frac{(-1)^n}{(2n)!} 4^n x^{2n}$。此式即为步骤概要中的表达式，它直接给出了 $a_n$ 所满足的关系。

将上一步得到的等式两边展开为幂级数形式，并比较同次幂系数。左边级数为$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$，右边为$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1}(n+1)x^n + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} 4^k x^{2k}$。注意右边第二项只有偶次项，即$x^{2k}$的系数为$\frac{(-1)^k}{(2k)!}4^k$，而奇次项系数为0。因此，对于$x^n$的系数，当$n$为奇数时，右边第二项贡献为0，故比较系数得$a_n = (-1)^{n+1}(n+1)$。由于$(-1)^{n+1}$当$n$为奇数时等于1（因为$n+1$为偶数），所以$a_n = n+1$。当$n$为偶数时，令$n=2k$，则左边$x^{2k}$的系数为$a_{2k}$，右边第一项贡献$(-1)^{2k+1}(2k+1) = -(2k+1)$，第二项贡献$\frac{(-1)^k}{(2k)!}4^k$。因此比较系数得$a_{2k} = \frac{(-1)^k}{(2k)!}4^k - (2k+1)$。综上，系数$a_n$分奇偶表示为： $$a_n = \begin{cases} n+1, & n\text{为奇数} \\ \frac{(-1)^{n/2}}{n!}4^{n/2} - (n+1), & n\text{为偶数} \end{cases}$$

根据前几步的推导，我们已经分别得到了数列 $a_n$ 在 $n$ 为奇数和偶数时的表达式。 当 $n$ 为奇数时，设 $n=2k+1$（$k=0,1,2,\dots$），由递推关系可得 $a_{2k+1} = 2k+2 = n+1$。 当 $n$ 为偶数时，设 $n=2k$（$k=1,2,3,\dots$），通过求解非齐次线性递推方程，得到通解形式为： $$a_{2k} = \frac{(-1)^k}{(2k)!} \cdot 2^{2k} - 2k - 1$$ 将 $n=2k$ 代入，即 $k = n/2$，则 $(-1)^k = (-1)^{n/2}$，$(2k)! = n!$，$2^{2k} = 2^n$，$-2k-1 = -n-1$。因此偶数项表达式为： $$a_n = \frac{(-1)^{n/2}}{n!} \cdot 2^n - n - 1 \quad (n \text{为偶数})$$ 综合奇偶两种情况，得到 $a_n$ 的分段表达式： $$ a_n = \begin{cases} n+1, & n \text{为奇数} \\ \dfrac{(-1)^{n/2}}{n!} \cdot 2^n - n - 1, & n \text{为偶数} \end{cases} $$ 验证：当 $n=1$（奇数）时，$a_1 = 1+1=2$，与初始条件一致。当 $n=2$（偶数）时，$a_2 = \frac{(-1)^1}{2!} \cdot 2^2 - 2 - 1 = \frac{-1}{2} \cdot 4 - 3 = -2-3 = -5$，代入递推关系 $a_2 = 2a_1 - a_0 - 2^2$ 得 $2\cdot2 - 1 - 4 = -5$，一致。因此分段表达式正确。