目标：计算数学期望E(X)
首先，根据题目给出的概率密度函数，随机变量$X$的概率密度函数为$f(x)=\frac{x}{2}$，其中$x$的取值范围是$(0,2)$。数学期望$E(X)$的定义为$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx$。由于$f(x)$只在$(0,2)$上非零，因此积分区间为$(0,2)$。代入$f(x)=\frac{x}{2}$，得到：
$$E(X)=\int_{0}^{2} x \cdot \frac{x}{2} dx = \int_{0}^{2} \frac{x^2}{2} dx$$
计算该定积分：
$$\int_{0}^{2} \frac{x^2}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} x^2 dx = \frac{1}{2} \cdot \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$$
因此，数学期望$E(X)=\frac{4}{3}$。
公式：$$E(X)=\int_{0}^{2} x\cdot\frac{x}{2}dx=\frac{4}{3}$$
提示：注意期望公式中要乘以$x$，且积分区间与概率密度函数的非零区间一致。
目标：求分布函数F(x)的分段表达式
分布函数 $F(x)$ 定义为 $F(x) = P\{X \leq x\} = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$，其中 $f(t)$ 为概率密度函数。根据已知的概率密度函数：
$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x}{2}, & 0 \leq x < 2, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$
我们需要分段积分：
1. **当 $x < 0$ 时**：
由于 $f(t)$ 在 $(-\infty, x]$ 上恒为 $0$，故
$$F(x) = \int_{-\infty}^{x} 0 \, dt = 0.$$
2. **当 $0 \leq x < 2$ 时**：
积分区间为 $(-\infty, 0]$ 和 $[0, x]$。在 $(-\infty, 0]$ 上 $f(t)=0$，在 $[0, x]$ 上 $f(t)=\frac{t}{2}$，因此
$$F(x) = \int_{-\infty}^{0} 0 \, dt + \int_{0}^{x} \frac{t}{2} \, dt = \int_{0}^{x} \frac{t}{2} \, dt.$$
计算积分：
$$\int_{0}^{x} \frac{t}{2} \, dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{4}.$$
所以 $F(x) = \dfrac{x^2}{4}$，$0 \leq x < 2$。
3. **当 $x \geq 2$ 时**：
积分区间覆盖整个概率密度非零区域 $[0,2)$ 以及之外的部分。由于 $f(t)$ 在 $[0,2)$ 上的积分为 $1$（概率密度归一性），且 $x \geq 2$ 时 $(-\infty, x]$ 包含整个 $[0,2)$，故
$$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt = \int_{0}^{2} \frac{t}{2} \, dt = 1.$$
也可直接由分布函数性质得 $F(x)=1$ 当 $x \geq 2$。
综上，分布函数的分段表达式为：
$$F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \\ \dfrac{x^2}{4}, & 0 \leq x < 2, \\ 1, & x \geq 2. \end{cases}$$
注意：在分段点 $x=0$ 处，$F(0)=0$，与左邻域一致；在 $x=2$ 处，$F(2)=\frac{2^2}{4}=1$，与右邻域一致，故分布函数连续。
公式：$$F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \\ \dfrac{x^2}{4}, & 0 \leq x < 2, \\ 1, & x \geq 2. \end{cases}$$
提示：分段积分时，先画出概率密度函数图像，再根据 $x$ 的位置确定积分区间。
目标：将不等式转化为关于F(X)的概率
由步骤2已知$E(X)=\frac{4}{3}$，代入不等式$E(X)-1
\frac{1}{3}\right\}$。
由于$F(X)$是随机变量$X$的分布函数，且$X$为连续型随机变量，其概率密度函数为$f(x)$。根据分布函数的定义，$F(X)$本身也是一个随机变量。我们需要计算事件$\left\{F(X)>\frac{1}{3}\right\}$的概率。
利用概率积分变换（Probability Integral Transform）的性质：若$X$为连续型随机变量，则$F(X)$服从区间$[0,1]$上的均匀分布，即$F(X)\sim U(0,1)$。因此，对于任意$t\in[0,1]$，有$P\{F(X)\le t\}=t$，从而$P\{F(X)>t\}=1-t$。
代入$t=\frac{1}{3}$，得$P\left\{F(X)>\frac{1}{3}\right\}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。
因此，原不等式$E(X)-1
公式：$$P\left\{F(X)>\frac{1}{3}\right\}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$
提示：利用概率积分变换：连续型随机变量的分布函数值服从$[0,1]$均匀分布。
目标：利用分布函数的性质求概率
由前一步已知，随机变量 $F(X)$ 服从区间 $[0,1]$ 上的均匀分布，即 $F(X) \sim U(0,1)$。根据均匀分布的性质，对于任意 $t \in [0,1]$，其分布函数为 $P\{F(X) \leq t\} = t$。
现在要求概率 $P\{F(X) > \frac{1}{3}\}$。利用对立事件的概率公式，有：
$$P\{F(X) > \frac{1}{3}\} = 1 - P\{F(X) \leq \frac{1}{3}\}.$$
由于 $F(X)$ 服从 $[0,1]$ 上的均匀分布，代入 $t = \frac{1}{3}$ 得：
$$P\{F(X) \leq \frac{1}{3}\} = \frac{1}{3}.$$
因此，
$$P\{F(X) > \frac{1}{3}\} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.$$
最终答案为 $\frac{2}{3}$。验证：该结果符合概率的非负性和规范性，且与均匀分布的性质一致。
公式：P\{F(X) > \frac{1}{3}\} = 1 - P\{F(X) \leq \frac{1}{3}\} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
提示：牢记均匀分布 $U(0,1)$ 的分布函数为 $F(t)=t$，可快速求解。