2019年考研数学三第17题

首先，观察题目所给微分方程：$y' - xy = \frac{1}{2\sqrt{x}} e^{\frac{x^2}{2}}$。该方程的形式为 $y' + P(x)y = Q(x)$，其中 $P(x) = -x$，$Q(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} e^{\frac{x^2}{2}}$。由于方程中 $y'$ 的系数为1，且 $y$ 及其导数均为一次项，符合一阶线性微分方程的标准形式。一阶线性微分方程的通解公式为：$$y = \left( \int Q(x) e^{\int P(x) \, dx} \, dx + C \right) e^{-\int P(x) \, dx}.$$ 其中 $P(x)$ 是 $y$ 的系数（注意符号：标准形式为 $y' + P(x)y = Q(x)$，而原方程是 $y' - xy = Q(x)$，因此 $P(x) = -x$）。接下来，计算积分因子 $\mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int (-x) \, dx} = e^{-\frac{x^2}{2}}$。于是通解公式可写为：$$y = \left( \int \frac{1}{2\sqrt{x}} e^{\frac{x^2}{2}} \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} \, dx + C \right) e^{\frac{x^2}{2}} = \left( \int \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx + C \right) e^{\frac{x^2}{2}}.$$ 这一步的关键是正确识别方程类型，并准确写出通解公式，为后续积分计算做好准备。

在第一步中，我们已经将原一阶线性微分方程化为标准形式： $$\frac{dy}{dx} - x y = x$$ 其中 $P(x) = -x$，$Q(x) = x$。 现在需要计算积分因子 $\mu(x)$。对于一阶线性微分方程 $y' + P(x)y = Q(x)$，积分因子定义为 $\mu(x) = e^{\int P(x) dx}$。 首先计算 $\int P(x) dx = \int (-x) dx$。由幂函数积分公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$），这里 $n=1$，得： $$\int (-x) dx = -\frac{x^2}{2} + C$$ 通常我们取一个特定的原函数，忽略积分常数 $C$，因为积分因子最终会通过指数运算吸收常数。因此取： $$\int P(x) dx = -\frac{x^2}{2}$$ 于是积分因子为： $$\mu(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{-\frac{x^2}{2}}$$ 在后续步骤中，我们也会用到 $\frac{1}{\mu(x)} = e^{-\int P(x) dx}$，即： $$e^{-\int P(x) dx} = e^{\frac{x^2}{2}}$$ 至此，我们得到了两个重要的指数函数：$e^{-x^2/2}$ 和 $e^{x^2/2}$，它们将用于将原方程转化为可积形式。

本步骤的目标是计算内层积分 $\int Q(x) e^{\int P(x) \, dx} \, dx$。根据之前步骤已求出的 $P(x) = x$，$Q(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$，以及积分因子 $\mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} = e^{x^2/2}$，代入公式得： $$\int Q(x) e^{\int P(x) \, dx} \, dx = \int \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot e^{x^2/2} \cdot e^{-x^2/2} \, dx$$ 注意，公式中的 $e^{\int P(x) \, dx}$ 是积分因子，而 $e^{-\int P(x) \, dx}$ 是通解公式中的另一因子，两者相乘恰好抵消：$e^{x^2/2} \cdot e^{-x^2/2} = e^0 = 1$。因此被积函数简化为 $\frac{1}{2\sqrt{x}}$，即： $$\int \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx$$ 这是一个基本幂函数积分。将 $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ 写成 $\frac{1}{2} x^{-1/2}$，积分得： $$\int \frac{1}{2} x^{-1/2} \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = x^{1/2} + C = \sqrt{x} + C$$ 其中 $C$ 为任意常数。至此，内层积分计算完成，结果为 $\sqrt{x} + C$。这个结果将用于下一步求解一阶线性微分方程的通解。

首先，我们已得到一阶线性微分方程的通解形式为 $y = (\sqrt{x} + C) e^{x^2/2}$，其中 $C$ 为任意常数。接下来利用初始条件 $y(1) = \sqrt{e}$ 来确定常数 $C$。将 $x=1$ 代入通解：$y(1) = (\sqrt{1} + C) e^{1^2/2} = (1 + C) e^{1/2}$。根据初始条件，该值应等于 $\sqrt{e}$，即 $(1 + C) e^{1/2} = \sqrt{e}$。注意到 $\sqrt{e} = e^{1/2}$，因此方程化为 $(1 + C) e^{1/2} = e^{1/2}$。两边同时除以 $e^{1/2}$（非零），得 $1 + C = 1$，解得 $C = 0$。将 $C=0$ 代回通解，得到满足初始条件的特解：$y(x) = \sqrt{x} \, e^{x^2/2}$。至此，我们完成了利用初始条件确定常数的步骤，得到了微分方程的特解。

根据旋转体体积公式，曲线 $y = y(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积为 $V = \pi \int_a^b y^2 \, dx$。本题中，旋转区间为 $x \in [1, 2]$，且由前几步已知 $y(x) = \sqrt{x} \, e^{x^2/2}$。将 $y(x)$ 代入公式，得： $$V = \pi \int_{1}^{2} \left( \sqrt{x} \, e^{x^2/2} \right)^2 dx = \pi \int_{1}^{2} x \, e^{x^2} \, dx.$$ 这里利用了幂运算性质：$(\sqrt{x})^2 = x$，以及指数运算性质：$(e^{x^2/2})^2 = e^{x^2}$。因此，旋转体体积的积分表达式为 $V = \pi \int_{1}^{2} x e^{x^2} \, dx$。该积分可通过换元法（令 $u = x^2$）进一步计算，得到最终体积值。

本步骤的目标是计算定积分 $V = \frac{\pi}{2} \int_{1}^{4} e^{u} \, du$，从而得到旋转体的体积。 首先，回忆换元过程：令 $u = x^2$，则 $du = 2x \, dx$，即 $x \, dx = \frac{du}{2}$。当 $x=1$ 时，$u=1$；当 $x=2$ 时，$u=4$。原积分 $V = \pi \int_{1}^{2} x e^{x^2} \, dx$ 经过换元变为 $V = \pi \int_{1}^{4} e^{u} \cdot \frac{du}{2} = \frac{\pi}{2} \int_{1}^{4} e^{u} \, du$。 现在计算定积分 $\int_{1}^{4} e^{u} \, du$。由于 $e^u$ 的原函数是它本身，所以 $$ \int_{1}^{4} e^{u} \, du = \left[ e^{u} \right]_{1}^{4} = e^{4} - e^{1} = e^{4} - e. $$ 因此，体积为 $$ V = \frac{\pi}{2} \cdot (e^{4} - e) = \frac{\pi}{2} (e^{4} - e). $$ 最终答案验证：将 $x=2$ 代入原被积函数 $\pi x e^{x^2}$ 得 $\pi \cdot 2 \cdot e^{4}$，$x=1$ 处为 $\pi \cdot 1 \cdot e^{1}$，积分结果介于两者之间，且 $\frac{\pi}{2}(e^{4}-e)$ 为正数，符合几何意义。因此，旋转体的体积为 $\frac{\pi}{2}(e^{4}-e)$。