💡 答案解析
**答案**: 见解析
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**解析**:
$\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 4 & 4 & a^{2}+3\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & a^{2}-1\end{array}\right)$ ，
当 $a=-1$ 时，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 的秩为 2 ，
由 $\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}\right)=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 4\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 得 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}$ 的秩为 2 ，
$$
\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}\right)=\left(\begin{array}{ccc:ccc}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 2 & 1 & 2 & 3 \\
4 & 4 & 4 & 2 & 2 & 4
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc:ccc}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & -1 & 1 & 0 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 0 & -2 & 2 & 0
\end{array}\right),
$$
因为 $r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right) \neq r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}\right)$ ，所以两个向量组不等价；
当 $a=1$ 时，$\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}\right)=\left(\begin{array}{ccc:ccc}1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 1 & 2 & 3 \\ 4 & 4 & 4 & 4 & 0 & 4\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc:ccc}1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，
因为 $r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)=r\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}\right)=r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}\right)=2$ ，所以两个向量组等价，令 $x_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+x_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+x_{3} \boldsymbol{\alpha}_{3}=\boldsymbol{\beta}_{3}$ ，
再由 $\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{3}\right)=\left(\begin{array}{ccc:c}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 3 \\ 4 & 4 & 4 & 4\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc:c}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc:c}1 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 得
方程组 $x_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+x_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+x_{3} \boldsymbol{\alpha}_{3}=\boldsymbol{\beta}_{3}$ 的通解为
$$
\boldsymbol{X}=k\left(\begin{array}{c}
-2 \\
1 \\
1
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
3 \\
-2 \\
0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
-2 k+3 \\
k-2 \\
k
\end{array}\right)(k \text { 为任意常数 }),
$$
故 $\boldsymbol{\beta}_{3}=(-2 k+3) \boldsymbol{\alpha}_{1}+(k-2) \boldsymbol{\alpha}_{2}+k \boldsymbol{\alpha}_{3}$（ $k$ 为任意常数）．
当 $a \neq \pm 1$ 时，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 的秩为 3 ，
由 $\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ a+3 & 1-a & a^{2}+3\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1-a & a^{2}-a\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & a^{2}-1\end{array}\right)$ 得
向量组 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}$ 的秩为 3 ，故两个向量组等价，
令 $x_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+x_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+x_{3} \boldsymbol{\alpha}_{3}=\boldsymbol{\beta}_{3}$ ，
由 $\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{3}\right)=\left(\begin{array}{ccc:c}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 3 \\ 4 & 4 & a^{2}+3 & a^{2}+3\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc:c}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & a^{2}-1 & a^{2}-1\end{array}\right)$
$\begin{aligned} & \rightarrow\left(\begin{array}{ccc:c}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc:c}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc:c}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1\end{array}\right) \text { 得 } \\ & \boldsymbol{\beta}_3=\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3 \text {. }\end{aligned}$
📋 详细解题步骤
目标：化简向量组I的矩阵并求秩
首先，将向量组I中的三个向量 $\alpha_1 = (1,1,1)^T$, $\alpha_2 = (1,2,3)^T$, $\alpha_3 = (1,3,a)^T$ 按列组成矩阵 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$，即
$$A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 3 \\
1 & 3 & a
\end{pmatrix}.$$
对矩阵 $A$ 进行初等行变换，化为行阶梯形。
第一步：将第1行的 $-1$ 倍分别加到第2行和第3行，得到
$$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 2 & a-1
\end{pmatrix}.$$
第二步：将第2行的 $-2$ 倍加到第3行，得到
$$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & a-5
\end{pmatrix}.$$
此时矩阵已化为行阶梯形。根据行阶梯形矩阵，矩阵的秩等于非零行的行数。
- 当 $a-5 \neq 0$，即 $a \neq 5$ 时，第三行非零，矩阵的秩为 $3$。
- 当 $a-5 = 0$，即 $a = 5$ 时，第三行为零行，矩阵的秩为 $2$。
因此，向量组I的秩 $r(I)$ 为：
$$r(I) = \begin{cases}
3, & a \neq 5, \\
2, & a = 5.
\end{cases}$$
公式：$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & a \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{行变换}} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & a-5 \end{pmatrix}$$
提示：行变换要细心，注意每一步的运算；最后根据a-5是否为零分类讨论秩。
目标：化简向量组II的矩阵并求秩
将向量组II的向量$\beta_1=(1,1,1)^T$，$\beta_2=(1,2,3)^T$，$\beta_3=(1,3,t)^T$按列排成矩阵$B$，即
$$B=(\beta_1,\beta_2,\beta_3)=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&t\end{pmatrix}.$$
对$B$进行初等行变换化为行阶梯形：
首先，将第1行的$-1$倍加到第2行和第3行，得
$$\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&2&t-1\end{pmatrix}.$$
再将第2行的$-2$倍加到第3行，得
$$\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&0&t-5\end{pmatrix}.$$
由此得到行阶梯形矩阵。矩阵$B$的秩等于非零行的行数，因此秩$r(B)$取决于$t-5$是否为0：
- 当$t\neq5$时，$t-5\neq0$，行阶梯形有3个非零行，故$r(B)=3$；
- 当$t=5$时，$t-5=0$，第3行全为零，行阶梯形有2个非零行，故$r(B)=2$。
综上，向量组II的秩为
$$r(\beta_1,\beta_2,\beta_3)=\begin{cases}3,&t\neq5,\\2,&t=5.\end{cases}$$
公式：$$B=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&t\end{pmatrix}\xrightarrow{\text{行变换}}\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&0&t-5\end{pmatrix}$$
提示：行变换时注意保持系数正确，最后一行元素为t-5，直接判断其是否为零即可。
目标：分情况讨论a的取值
根据前一步得到的矩阵秩的情况，我们需要对参数$a$进行分类讨论。已知向量组(I)$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$与向量组(II)$\beta_1,\beta_2,\beta_3$等价的条件是它们的秩相等且一个向量组可由另一个线性表示。首先计算向量组(I)的秩。令矩阵$A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$，则
$$A=\begin{pmatrix}1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1\end{pmatrix}.$$
对$A$进行初等行变换：
$$\begin{pmatrix}1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1\end{pmatrix}\xrightarrow{r_2-r_1}\begin{pmatrix}1 & 1 & a \\ 0 & a-1 & 1-a \\ a & 1 & 1\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3-ar_1}\begin{pmatrix}1 & 1 & a \\ 0 & a-1 & 1-a \\ 0 & 1-a & 1-a^2\end{pmatrix}.$$
当$a=1$时，矩阵变为$\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$，秩为1。当$a=-1$时，矩阵变为$\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 2 \\ 0 & 2 & 0\end{pmatrix}$，进一步化简得$\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}$，秩为3。当$a\neq\pm1$时，$a-1\neq0$且$1-a\neq0$，继续变换：将第二行乘以$\frac{1}{a-1}$得$\begin{pmatrix}1 & 1 & a \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1-a & 1-a^2\end{pmatrix}$，然后$r_3-(1-a)r_2$得$\begin{pmatrix}1 & 1 & a \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1-a^2-(1-a)(-1)\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1 & 1 & a \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2-a-a^2\end{pmatrix}$。由于$a\neq\pm1$，$2-a-a^2=-(a^2+a-2)=-(a-1)(a+2)\neq0$（当$a\neq1$且$a\neq-2$时），但$a\neq\pm1$已保证$a\neq1$，还需考虑$a=-2$的情况。当$a=-2$时，$2-a-a^2=2+2-4=0$，秩为2。因此，向量组(I)的秩为：
- $a=1$时，秩=1；
- $a=-1$时，秩=3；
- $a=-2$时，秩=2；
- $a\neq\pm1,-2$时，秩=3。
类似地，可计算向量组(II)的秩，并根据秩相等及线性表示关系，最终需要分$a=-1$，$a=1$，$a\neq\pm1$三种主要情形讨论等价性。
公式：$$A=\begin{pmatrix}1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1\end{pmatrix},\quad \text{秩为}\begin{cases}1, & a=1\\3, & a=-1\\2, & a=-2\\3, & a\neq\pm1,-2\end{cases}$$
提示：先求向量组(I)的秩，再根据秩相等条件确定a的可能取值，最后逐一验证线性表示。
目标：验证a=-1时是否等价
当$a=-1$时，向量组$I$为$\alpha_1=(1,1,1)^T$，$\alpha_2=(1,2,3)^T$，$\alpha_3=(1,3,5)^T$；向量组$II$为$\beta_1=(1,1,1)^T$，$\beta_2=(1,2,3)^T$，$\beta_3=(1,3,5)^T$。此时两个向量组完全相同，显然等价。但题目要求验证$a=-1$时是否与向量组$I$等价，实际上这里需要判断的是当$a=-1$时，向量组$II$是否与向量组$I$等价。由于向量组$II$中的向量与$I$完全相同，故秩相等且互相线性表示，因此等价。然而，按照题目步骤的意图，此处应构造联合矩阵$(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1,\beta_2,\beta_3)$并计算秩。将向量按列排成矩阵：
$$
A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3\\
1 & 3 & 5 & 1 & 3 & 5
\end{pmatrix}
$$
对矩阵$A$进行初等行变换：首先将第2行减去第1行，第3行减去第1行，得到
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 2\\
0 & 2 & 4 & 0 & 2 & 4
\end{pmatrix}
$$
再将第3行减去2倍的第2行，得
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
可见矩阵$A$的秩为$2$。而向量组$I$的秩为$2$（因为$\alpha_1,\alpha_2$线性无关，$\alpha_3=\alpha_1+2\alpha_2$），故联合矩阵的秩等于向量组$I$的秩，因此两个向量组等价。但题目步骤概要中称“发现与向量组I的秩不等，故不等价”，这可能是题目设计中的一种假设情景，实际计算表明当$a=-1$时秩相等，等价成立。
公式：$$\begin{pmatrix}1&1&1&1&1&1\\1&2&3&1&2&3\\1&3&5&1&3&5\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}1&1&1&1&1&1\\0&1&2&0&1&2\\0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}$$
提示：联合矩阵的秩等于每个向量组的秩时，两向量组等价。
目标：验证a=1时是否等价并求线性表示
当$a=1$时，向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$与$\beta_1,\beta_2,\beta_3$等价。首先构造联合矩阵$(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3 \mid \beta_1,\beta_2,\beta_3)$，并化为行最简形。已知$\alpha_1=(1,1,1)^T$，$\alpha_2=(1,2,3)^T$，$\alpha_3=(1,3,5)^T$，$\beta_1=(1,0,1)^T$，$\beta_2=(2,1,3)^T$，$\beta_3=(3,2,5)^T$。构造矩阵：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 3 \\
1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 2 \\
1 & 3 & 5 & 1 & 3 & 5
\end{pmatrix}
$$
进行初等行变换：$r_2-r_1$，$r_3-r_1$得
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 2 & -1 & -1 & -1 \\
0 & 2 & 4 & 0 & 1 & 2
\end{pmatrix}
$$
$r_3-2r_2$得
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 2 & -1 & -1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 3 & 4
\end{pmatrix}
$$
可见$r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=2$，$r(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1,\beta_2,\beta_3)=2$，故两个向量组等价。
现在求$\beta_3$由$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性表示的表达式。解方程组$x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3=\beta_3$，即
$$
\begin{cases}
x_1+x_2+x_3=3 \\
x_1+2x_2+3x_3=2 \\
x_1+3x_2+5x_3=5
\end{cases}
$$
写出增广矩阵并化为行最简形：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 3 \\
1 & 2 & 3 & 2 \\
1 & 3 & 5 & 5
\end{pmatrix}
\xrightarrow{r_2-r_1, r_3-r_1}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 3 \\
0 & 1 & 2 & -1 \\
0 & 2 & 4 & 2
\end{pmatrix}
\xrightarrow{r_3-2r_2}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 3 \\
0 & 1 & 2 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
回代得$x_2=-1-2x_3$，$x_1=3-x_2-x_3=3-(-1-2x_3)-x_3=4+x_3$。令$x_3=k$（$k$为任意常数），则通解为
$$
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
4 \\ -1 \\ 0
\end{pmatrix}
+
k
\begin{pmatrix}
1 \\ -2 \\ 1
\end{pmatrix}
$$
因此$\beta_3$可由$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性表示为
$$
\beta_3 = (4+k)\alpha_1 + (-1-2k)\alpha_2 + k\alpha_3, \quad k\in\mathbb{R}
$$
特别地，取$k=0$得一个简单表示：$\beta_3=4\alpha_1-\alpha_2$。
公式：\beta_3 = (4+k)\alpha_1 + (-1-2k)\alpha_2 + k\alpha_3, \quad k\in\mathbb{R}
提示：注意行最简形中自由变量的选取，通解表达式要包含所有可能情况。
目标：验证a≠±1时是否等价并求线性表示
当$a \neq \pm 1$时，向量组(I)和(II)的秩均为3，且它们都包含于三维向量空间$\mathbb{R}^3$中，因此两个向量组等价（即可以互相线性表示）。下面求向量组(II)中每个向量由向量组(I)线性表示的表达式。
设向量组(I)为$\alpha_1 = (1,1,1)^T$，$\alpha_2 = (1,2,3)^T$，$\alpha_3 = (1,3,a)^T$；向量组(II)为$\beta_1 = (1,1,a)^T$，$\beta_2 = (1,2,4)^T$，$\beta_3 = (1,3,5)^T$。
首先求$\beta_1$由$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$的线性表示。设$\beta_1 = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3$，得到线性方程组：
$$
\begin{cases}
x_1 + x_2 + x_3 = 1 \\
x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 1 \\
x_1 + 3x_2 + a x_3 = a
\end{cases}
$$
用第一式减第二式得：$-x_2 - 2x_3 = 0$，即$x_2 = -2x_3$。代入第一式得$x_1 = 1 - x_2 - x_3 = 1 + 2x_3 - x_3 = 1 + x_3$。代入第三式：$(1+x_3) + 3(-2x_3) + a x_3 = a$，即$1 + x_3 -6x_3 + a x_3 = a$，整理得$1 + (a-5)x_3 = a$，所以$(a-5)x_3 = a-1$。由于$a \neq 5$（因为$a \neq \pm 1$且$a=5$时仍满足条件），解得$x_3 = \frac{a-1}{a-5}$，进而$x_2 = -\frac{2(a-1)}{a-5}$，$x_1 = 1 + \frac{a-1}{a-5} = \frac{a-5 + a-1}{a-5} = \frac{2a-6}{a-5}$。因此
$$
\beta_1 = \frac{2a-6}{a-5}\alpha_1 - \frac{2(a-1)}{a-5}\alpha_2 + \frac{a-1}{a-5}\alpha_3.
$$
再求$\beta_2$的表示。设$\beta_2 = y_1\alpha_1 + y_2\alpha_2 + y_3\alpha_3$，得方程组：
$$
\begin{cases}
y_1 + y_2 + y_3 = 1 \\
y_1 + 2y_2 + 3y_3 = 2 \\
y_1 + 3y_2 + a y_3 = 4
\end{cases}
$$
第一式减第二式得：$-y_2 - 2y_3 = -1$，即$y_2 = 1 - 2y_3$。代入第一式得$y_1 = 1 - y_2 - y_3 = 1 - (1-2y_3) - y_3 = y_3$。代入第三式：$y_3 + 3(1-2y_3) + a y_3 = 4$，即$y_3 + 3 -6y_3 + a y_3 = 4$，整理得$3 + (a-5)y_3 = 4$，所以$(a-5)y_3 = 1$，$y_3 = \frac{1}{a-5}$，$y_2 = 1 - \frac{2}{a-5} = \frac{a-5-2}{a-5} = \frac{a-7}{a-5}$，$y_1 = \frac{1}{a-5}$。因此
$$
\beta_2 = \frac{1}{a-5}\alpha_1 + \frac{a-7}{a-5}\alpha_2 + \frac{1}{a-5}\alpha_3.
$$
最后求$\beta_3$的表示。设$\beta_3 = z_1\alpha_1 + z_2\alpha_2 + z_3\alpha_3$，得方程组：
$$
\begin{cases}
z_1 + z_2 + z_3 = 1 \\
z_1 + 2z_2 + 3z_3 = 3 \\
z_1 + 3z_2 + a z_3 = 5
\end{cases}
$$
第一式减第二式得：$-z_2 - 2z_3 = -2$，即$z_2 = 2 - 2z_3$。代入第一式得$z_1 = 1 - z_2 - z_3 = 1 - (2-2z_3) - z_3 = -1 + z_3$。代入第三式：$(-1+z_3) + 3(2-2z_3) + a z_3 = 5$，即$-1+z_3 + 6 -6z_3 + a z_3 = 5$，整理得$5 + (a-5)z_3 = 5$，所以$(a-5)z_3 = 0$。由于$a \neq 5$，故$z_3 = 0$，进而$z_2 = 2$，$z_1 = -1$。因此
$$
\beta_3 = -\alpha_1 + 2\alpha_2 + 0\cdot\alpha_3.
$$
综上，当$a \neq \pm 1$时，向量组(I)与(II)等价，且上述表达式给出了(II)中每个向量由(I)线性表示的唯一方式。
公式：\beta_1 = \frac{2a-6}{a-5}\alpha_1 - \frac{2(a-1)}{a-5}\alpha_2 + \frac{a-1}{a-5}\alpha_3,\quad \beta_2 = \frac{1}{a-5}\alpha_1 + \frac{a-7}{a-5}\alpha_2 + \frac{1}{a-5}\alpha_3,\quad \beta_3 = -\alpha_1 + 2\alpha_2
提示：注意参数a的取值对分母的影响，解方程组时先消元再代入，避免计算错误。