2020年考研数学三第12题

首先，根据题目条件，积分区域由以下不等式确定：$0 \leq x \leq 1$，$\frac{x}{2} \leq y \leq \frac{1}{1+x^2}$。我们需要分析$y$的取值范围，以便后续对$y$进行积分。 对于固定的$x$，$y$的下界是直线$y = \frac{x}{2}$，上界是曲线$y = \frac{1}{1+x^2}$。当$x$从0变化到1时，$y$的下界从$0$增加到$\frac{1}{2}$，上界从$1$减少到$\frac{1}{2}$。因此，$y$的整体最小值出现在$x=0$时下界$y=0$，最大值出现在$x=0$时上界$y=1$。 特别地，当$x=1$时，下界$y=\frac{1}{2}$，上界$y=\frac{1}{1+1^2}=\frac{1}{2}$，即曲线$y=\frac{1}{1+x^2}$与直线$y=\frac{x}{2}$在点$(1,\frac{1}{2})$处相交。这意味着在$y$从$0$到$\frac{1}{2}$和从$\frac{1}{2}$到$1$这两个区间内，$x$的表达式不同。 具体地： - 当$y \in [0, \frac{1}{2}]$时，$x$的下界由直线$y = \frac{x}{2}$给出，即$x = 2y$；上界由曲线$y = \frac{1}{1+x^2}$给出，即$x = \sqrt{\frac{1}{y} - 1}$。 - 当$y \in [\frac{1}{2}, 1]$时，$x$的下界由曲线$y = \frac{1}{1+x^2}$给出，即$x = \sqrt{\frac{1}{y} - 1}$；上界由直线$x=1$给出。 因此，$y$的范围为$[0,1]$，但需要以$y=\frac{1}{2}$为分界点分成两段处理。

已知随机变量$X$的分布函数为$F(x)$，且$Y$由如下关系定义：当$0 \leq X \leq 2$时，$Y = \frac{X}{2}$；当$X > 2$时，$Y = \frac{1}{1+X^2}$。我们需要将$x$表示为$y$的函数，即求出反函数关系，以便后续求$Y$的分布函数。 首先分析$Y$的值域。当$X \in [0,2]$时，$Y = \frac{X}{2}$，此时$Y$的取值范围为$[0,1]$。当$X > 2$时，$Y = \frac{1}{1+X^2}$，由于$X>2$，$X^2 > 4$，所以$1+X^2 > 5$，从而$Y \in (0, \frac{1}{5})$。注意两部分的值域有重叠部分：$[0, \frac{1}{5})$同时出现在两个分支中，而$[\frac{1}{5}, 1]$仅出现在第一个分支中。因此，在求反函数时需分段处理。 **分段一：** 当$0 \leq y \leq \frac{1}{2}$时，$y$可能来自两个分支。但根据题目给定的分段方式（常见解法中，通常将$y$的范围按$\frac{1}{2}$分界，因为当$X=2$时，$Y=1$；当$X$略大于2时，$Y$略小于$\frac{1}{5}$，而$\frac{1}{5} < \frac{1}{2}$，所以$[0,\frac{1}{5})$部分由两个分支共同贡献，但反函数表达式需根据$y$所在区间选择。此处标准解法采用：当$0 \leq y \leq \frac{1}{2}$时，由$y = \frac{x}{2}$得$x = 2y$。这是因为在$y \in [0,\frac{1}{2}]$内，第一个分支的$x$范围为$[0,1]$，而第二个分支的$x$范围是$(2, +\infty)$，但第二个分支对应的$y$最大为$\frac{1}{5}$，所以当$y \in (\frac{1}{5}, \frac{1}{2}]$时，只能来自第一个分支；当$y \in [0, \frac{1}{5}]$时，两个分支都有对应，但反函数通常取第一个分支的表达式（因为题目要求将$x$表示为$y$的函数，且后续求分布函数时需考虑所有可能）。此处按常见解法，直接取$x=2y$。 **分段二：** 当$\frac{1}{2} \leq y \leq 1$时，$y$只可能来自第一个分支（因为第二个分支的$y$最大为$\frac{1}{5}<\frac{1}{2}$），但注意$y=1$对应$x=2$，而$y=\frac{1}{2}$对应$x=1$。然而，题目中给出的分段是$\frac{1}{2} \leq y \leq 1$时，由$y = \frac{1}{1+x^2}$得$x = \sqrt{\frac{1}{y} - 1}$。这实际上对应的是第二个分支的反函数，但$y$的范围却包含了$[\frac{1}{2},1]$，而第二个分支的$y$最大为$\frac{1}{5}$，所以这里似乎存在矛盾。实际上，正确的分段应为：当$0 \leq y \leq \frac{1}{5}$时，$x$有两个可能值（$2y$和$\sqrt{\frac{1}{y}-1}$）；当$\frac{1}{5} < y \leq \frac{1}{2}$时，$x=2y$；当$\frac{1}{2} < y \leq 1$时，$x=2y$。但题目步骤目标中给出的分段是$0 \leq y \leq \frac{1}{2}$时$x=2y$，$\frac{1}{2} \leq y \leq 1$时$x=\sqrt{\frac{1}{y}-1}$，这可能是为了后续计算方便而采用的简化处理（实际上$y$在$[\frac{1}{2},1]$时，$x$只能由第一个分支得到，但这里却用了第二个分支的反函数，显然不合理）。因此，我们按照题目给出的步骤目标来写： - 当$0 \leq y \leq \frac{1}{2}$时，由$y = \frac{x}{2}$解得$x = 2y$。 - 当$\frac{1}{2} \leq y \leq 1$时，由$y = \frac{1}{1+x^2}$解得$x = \sqrt{\frac{1}{y} - 1}$。 注意：这里$y$的范围$[\frac{1}{2},1]$实际上与第二个分支的值域$[0,\frac{1}{5}]$不匹配，但题目如此设定，我们按题目要求执行。

首先，明确旋转体体积的计算方法：当平面图形绕$y$轴旋转时，体积微元为$\pi [x(y)]^2 dy$，因此总体积为$V = \pi \int_{y_{\min}}^{y_{\max}} [x(y)]^2 dy$。 根据题目条件，曲线由两部分组成： - 当$0 \le y \le \frac{1}{2}$时，$x = 2y$； - 当$\frac{1}{2} \le y \le 1$时，$x = \sqrt{\frac{1}{y} - 1}$。 因此，需要分段积分。将$y$的积分区间$[0,1]$分为$[0,\frac{1}{2}]$和$[\frac{1}{2},1]$两段，分别代入$x(y)$的表达式： 第一段：$y \in [0, \frac{1}{2}]$，$x(y) = 2y$，则$[x(y)]^2 = (2y)^2 = 4y^2$，积分贡献为$\pi \int_{0}^{1/2} 4y^2 dy$。 第二段：$y \in [\frac{1}{2}, 1]$，$x(y) = \sqrt{\frac{1}{y} - 1}$，则$[x(y)]^2 = \left(\sqrt{\frac{1}{y} - 1}\right)^2 = \frac{1}{y} - 1$，积分贡献为$\pi \int_{1/2}^{1} \left(\frac{1}{y} - 1\right) dy$。 因此，旋转体体积的积分表达式为： $$V = \pi \int_{0}^{1/2} (2y)^2 dy + \pi \int_{1/2}^{1} \left(\sqrt{\frac{1}{y} - 1}\right)^2 dy = \pi \int_{0}^{1/2} 4y^2 dy + \pi \int_{1/2}^{1} \left(\frac{1}{y} - 1\right) dy.$$

本步骤计算第一段积分 $\pi \int_{0}^{1/2} 4y^2 \, dy$。首先，将被积函数中的常数因子 $4$ 提到积分号外，得到 $\pi \cdot 4 \int_{0}^{1/2} y^2 \, dy$。接下来计算定积分 $\int_{0}^{1/2} y^2 \, dy$。根据幂函数积分公式 $\int y^n \, dy = \frac{y^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$），这里 $n=2$，所以 $\int y^2 \, dy = \frac{1}{3} y^3$。于是定积分为： $$ \int_{0}^{1/2} y^2 \, dy = \left[ \frac{1}{3} y^3 \right]_{0}^{1/2} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} \right)^3 - \frac{1}{3} \cdot 0^3 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{24}. $$ 因此，原积分化为： $$ \pi \cdot 4 \cdot \frac{1}{24} = \pi \cdot \frac{4}{24} = \pi \cdot \frac{1}{6} = \frac{\pi}{6}. $$ 所以第一段积分的结果为 $\frac{\pi}{6}$。

第二段积分的表达式为 $\pi \int_{1/2}^{1} \left( \frac{1}{y} - 1 \right) dy$。首先计算不定积分：$\int \left( \frac{1}{y} - 1 \right) dy = \ln|y| - y + C$。由于积分区间为 $[1/2, 1]$，$y>0$，绝对值可去掉，即 $\ln y - y$。代入上下限： $$\pi \left[ \ln y - y \right]_{1/2}^{1} = \pi \left[ (\ln 1 - 1) - \left( \ln\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \right) \right]$$ 由于 $\ln 1 = 0$，上式化为： $$\pi \left[ (0 - 1) - \left( \ln\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \right) \right] = \pi \left( -1 - \ln\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right) = \pi \left( -\ln\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \right)$$ 利用对数性质 $\ln\frac{1}{2} = -\ln 2$，则 $-\ln\frac{1}{2} = \ln 2$，因此： $$\pi \left( \ln 2 - \frac{1}{2} \right)$$ 此即为第二段积分的计算结果。

本步骤对前一步得到的旋转体体积表达式进行合并与化简。前一步已得到体积为两部分之和：$V = \frac{\pi}{6} + \pi\left(\ln 2 - \frac{1}{2}\right)$。首先将常数项合并：将$\frac{\pi}{6}$与$\pi\left(-\frac{1}{2}\right)$合并，即提取公因子$\pi$，得到： $$V = \pi\left(\frac{1}{6} + \ln 2 - \frac{1}{2}\right)$$ 接着计算括号内常数的代数和：$\frac{1}{6} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$。因此括号内化为：$\ln 2 - \frac{1}{3}$。于是体积的最终表达式为： $$V = \pi\left(\ln 2 - \frac{1}{3}\right)$$ 这是最简形式，无需进一步展开。验证：将$\ln 2 \approx 0.6931$代入，得$V \approx \pi(0.6931 - 0.3333) = \pi \times 0.3598 \approx 1.130$，数值合理。最终答案为$\pi\left(\ln 2 - \frac{1}{3}\right)$。