2020年考研数学三第14题

根据题意，随机变量$X$服从均匀分布，其可能取值为$0,1,2,3,4$，即$X \sim U\{0,1,2,3,4\}$。定义$Y$为$X$除以$3$的余数。对于任意非负整数$X$，除以$3$的余数只有三种可能：$0$、$1$、$2$。具体地，当$X$能被$3$整除时，余数为$0$；当$X$除以$3$余$1$时，余数为$1$；当$X$除以$3$余$2$时，余数为$2$。由于$X$的取值范围为$0$到$4$，我们逐一验证： - $X=0$，$0 \div 3 = 0$ 余 $0$，故$Y=0$； - $X=1$，$1 \div 3 = 0$ 余 $1$，故$Y=1$； - $X=2$，$2 \div 3 = 0$ 余 $2$，故$Y=2$； - $X=3$，$3 \div 3 = 1$ 余 $0$，故$Y=0$； - $X=4$，$4 \div 3 = 1$ 余 $1$，故$Y=1$。 因此，$Y$的所有可能取值为$0,1,2$，即$Y \in \{0,1,2\}$。

由题意，随机变量$Y$定义为：$Y = \sin\left(\frac{\pi}{3}X\right)$，其中$X$服从参数为$\frac{1}{2}$的几何分布，即$P\{X=k\} = \left(\frac{1}{2}\right)^k$，$k=1,2,3,\dots$。 我们需要计算$P\{Y=0\}$。$Y=0$当且仅当$\sin\left(\frac{\pi}{3}X\right)=0$，即$\frac{\pi}{3}X = n\pi$，$n$为整数，解得$X=3n$。由于$X$取正整数，故$X=3,6,9,\dots$，即$X=3k$，$k=1,2,3,\dots$。 因此， $$P\{Y=0\} = \sum_{k=1}^{\infty} P\{X=3k\} = \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{3k} = \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{8}\right)^k.$$ 这是一个首项$a=\frac{1}{8}$，公比$r=\frac{1}{8}$的无穷等比级数。利用等比级数求和公式$\sum_{k=1}^{\infty} ar^{k-1} = \frac{a}{1-r}$（$|r|<1$），这里$k$从1开始，级数为$\sum_{k=1}^{\infty} r^k = \frac{r}{1-r}$。代入$r=\frac{1}{8}$得： $$P\{Y=0\} = \frac{\frac{1}{8}}{1-\frac{1}{8}} = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{7}{8}} = \frac{1}{7}.$$ 所以$P\{Y=0\} = \frac{1}{7}$。

根据题目定义，随机变量$Y$由$X$通过映射$Y = \lfloor \frac{X}{3} \rfloor$得到，其中$X$服从参数为$\frac{1}{2}$的几何分布，即$P\{X = k\} = \frac{1}{2^k}$，$k = 1,2,3,\ldots$。我们需要计算$P\{Y = 1\}$。 $Y=1$意味着$\lfloor \frac{X}{3} \rfloor = 1$，即$1 \leq \frac{X}{3} < 2$，等价于$3 \leq X < 6$。由于$X$取正整数，因此$X$的可能取值为$3,4,5$。但注意，步骤目标中给出的对应关系是$Y=1$对应$X=1,4,7,\ldots$，这里似乎存在不一致。实际上，根据$Y = \lfloor \frac{X}{3} \rfloor$，当$X=1,2$时$Y=0$；当$X=3,4,5$时$Y=1$；当$X=6,7,8$时$Y=2$，以此类推。因此$Y=1$对应$X=3,4,5$，而不是$X=1,4,7,\ldots$。 然而，步骤目标中给出的对应关系是$Y=1$对应$X=1,4,7,\ldots$，这可能是题目中$Y$的定义不同。根据步骤目标中的描述，$Y=1$对应$X=1,4,7,\ldots$，即$X = 3k+1$，$k=0,1,2,\ldots$。因此我们按照步骤目标的要求，计算$P\{Y=1\} = \sum_{k=0}^{\infty} P\{X = 3k+1\}$。 由于$P\{X = 3k+1\} = \frac{1}{2^{3k+1}}$，所以 $$P\{Y=1\} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^{3k+1}} = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{1}{8}\right)^k = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{8}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{7} = \frac{4}{7}.$$ 因此，$P\{Y=1\} = \frac{4}{7}$。

我们需要计算随机变量$Y$取值为2的概率$P\{Y=2\}$。根据题目条件，$Y$与$X$的关系为$Y = \mathrm{mod}(X, 3)$，即$Y$等于$X$除以3的余数。因此$Y=2$对应所有满足$X \equiv 2 \pmod{3}$的正整数$X$，即$X = 2, 5, 8, 11, \dots$。这些值可以统一表示为$X = 3k + 2$，其中$k = 0, 1, 2, \dots$。 已知$X$的概率分布为$P\{X = n\} = \frac{1}{2^n}$，$n = 1, 2, 3, \dots$。于是 $$P\{Y=2\} = \sum_{k=0}^{\infty} P\{X = 3k+2\} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^{3k+2}}.$$ 提取公因子$\frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$，得到 $$P\{Y=2\} = \frac{1}{4} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^{3k}} = \frac{1}{4} \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{1}{8}\right)^k.$$ 这是一个首项为1、公比为$\frac{1}{8}$的等比级数，其和为$\frac{1}{1 - \frac{1}{8}} = \frac{8}{7}$。因此 $$P\{Y=2\} = \frac{1}{4} \times \frac{8}{7} = \frac{2}{7}.$$ 所以$P\{Y=2\} = \frac{2}{7}$。

本步骤的目标是计算随机变量$Y$的数学期望$E(Y)$。根据期望的定义，对于离散型随机变量，期望等于所有可能取值与其对应概率的乘积之和。由前几步已知，$Y$的可能取值为$0,1,2$，对应的概率分别为$P\{Y=0\}=\frac{1}{7}$，$P\{Y=1\}=\frac{4}{7}$，$P\{Y=2\}=\frac{2}{7}$。因此，期望的计算过程如下： $$E(Y)=0\times P\{Y=0\}+1\times P\{Y=1\}+2\times P\{Y=2\}$$ 代入概率值： $$E(Y)=0\times\frac{1}{7}+1\times\frac{4}{7}+2\times\frac{2}{7}$$ 计算各项： $$0\times\frac{1}{7}=0$$ $$1\times\frac{4}{7}=\frac{4}{7}$$ $$2\times\frac{2}{7}=\frac{4}{7}$$ 求和得： $$E(Y)=0+\frac{4}{7}+\frac{4}{7}=\frac{8}{7}$$ 因此，随机变量$Y$的数学期望为$\frac{8}{7}$。 **最终答案验证**：期望值$\frac{8}{7}$介于$Y$的最小值$0$和最大值$2$之间，符合期望的基本性质。同时，所有概率之和为$\frac{1}{7}+\frac{4}{7}+\frac{2}{7}=1$，概率分布正确，计算无误。