2020年考研数学三第8题

题目给出二维正态分布参数为 $N(0,0;1,4;-\frac{1}{2})$。根据二维正态分布的标准记法 $N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;\rho)$，可知： - 第一个分量的均值 $\mu_X = 0$，方差 $\sigma_X^2 = 1$，因此 $X \sim N(0,1)$。 - 第二个分量的均值 $\mu_Y = 0$，方差 $\sigma_Y^2 = 4$，因此 $Y \sim N(0,4)$。 - 相关系数 $\rho = -\frac{1}{2}$。 由此可得标准差：$\sigma_X = 1$，$\sigma_Y = 2$。协方差 $\operatorname{Cov}(X,Y) = \rho \sigma_X \sigma_Y = \left(-\frac{1}{2}\right) \times 1 \times 2 = -1$。 这些参数是后续计算条件分布、概率以及协方差等的基础。

本步骤的目标是计算每个选项中线性组合的期望，并判断其是否为零。已知随机变量$X$与$Y$相互独立，且$X\sim N(0,1)$，$Y\sim N(0,1)$。因此有$E(X)=0$，$E(Y)=0$，$E(X^2)=1$，$E(Y^2)=1$，$E(XY)=E(X)E(Y)=0$。 对于选项A：$X+Y$。利用期望的线性性质： $$E(X+Y)=E(X)+E(Y)=0+0=0.$$ 期望为0，满足要求。 对于选项B：$X-Y$。同样： $$E(X-Y)=E(X)-E(Y)=0-0=0.$$ 期望为0，满足要求。 对于选项C：$X^2+Y^2$。计算期望： $$E(X^2+Y^2)=E(X^2)+E(Y^2)=1+1=2.$$ 期望为2，不等于0，不满足要求。 对于选项D：$X^2-Y^2$。计算期望： $$E(X^2-Y^2)=E(X^2)-E(Y^2)=1-1=0.$$ 期望为0，满足要求。 因此，选项C的期望不为0，可以直接排除。其余三个选项的期望均为0，需要进一步通过方差或分布判断。

本步骤的目标是计算每个选项的方差，确保方差等于1。已知随机变量$X$和$Y$满足$D(X)=D(Y)=1$，且相关系数$\rho_{XY}=0.5$。协方差计算公式为$\text{Cov}(X,Y)=\rho\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}=0.5\times1\times1=0.5$。 对于每个选项，我们使用方差公式： $$D(aX+bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)+2ab\,\text{Cov}(X,Y)$$ 代入$D(X)=1$，$D(Y)=1$，$\text{Cov}(X,Y)=0.5$，得到： $$D(aX+bY)=a^2+b^2+ab$$ 现在逐一计算各选项的方差： **选项A：** $U=X$，即$a=1,b=0$，方差为$1^2+0^2+1\times0=1$，满足要求。 **选项B：** $U=\frac{X+Y}{\sqrt{3}}$，即$a=\frac{1}{\sqrt{3}},b=\frac{1}{\sqrt{3}}$，方差为$\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1$，满足要求。 **选项C：** $U=\frac{X-Y}{\sqrt{3}}$，即$a=\frac{1}{\sqrt{3}},b=-\frac{1}{\sqrt{3}}$，方差为$\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2+2\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\cdot0.5=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$，不等于1，不满足要求。 **选项D：** $U=\frac{X+Y}{\sqrt{2}}$，即$a=\frac{1}{\sqrt{2}},b=\frac{1}{\sqrt{2}}$，方差为$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1.5$，不等于1，不满足要求。 因此，方差为1的选项是A和B。

本步骤的目标是计算每个选项中的随机变量与X的协方差，并利用独立性条件（协方差为0）进行筛选。已知X与Y相互独立，且均服从标准正态分布$N(0,1)$，因此有$D(X)=1$，$\text{Cov}(X,Y)=0$。 对于选项A：$Y_1 = X + Y$，计算$\text{Cov}(X, Y_1) = \text{Cov}(X, X+Y)$。由协方差的线性性质： $$\text{Cov}(X, X+Y) = \text{Cov}(X,X) + \text{Cov}(X,Y) = D(X) + 0 = 1 \neq 0$$ 故A不满足独立条件。 对于选项B：$Y_2 = X - Y$，计算$\text{Cov}(X, Y_2) = \text{Cov}(X, X-Y) = \text{Cov}(X,X) - \text{Cov}(X,Y) = 1 - 0 = 1 \neq 0$，排除B。 对于选项C：$Y_3 = Y$，计算$\text{Cov}(X, Y_3) = \text{Cov}(X, Y) = 0$，满足协方差为0的条件。但注意：协方差为0是独立的必要非充分条件，对于正态分布，协方差为0等价于独立，因此C可能正确。 对于选项D：$Y_4 = -Y$，计算$\text{Cov}(X, Y_4) = \text{Cov}(X, -Y) = -\text{Cov}(X,Y) = 0$，同样满足协方差为0的条件。 因此，仅从协方差角度，选项C和D均满足$\text{Cov}(X,Y_i)=0$。但题目要求X与Y_i独立，对于正态随机向量，协方差为0即意味着独立，所以C和D在协方差意义上都符合。然而，我们需要进一步结合其他步骤（如联合分布的正态性）来最终确定答案。本步骤仅完成协方差计算与初步筛选。

综合前三步的计算结果： 1. **期望**：$E(X) = 0$，$E(Y) = 0$，$E(Z) = 0$。 2. **方差**：$D(X) = 1$，$D(Y) = 1$，$D(Z) = 1$。 3. **协方差**：$\operatorname{Cov}(X,Y) = 0$，$\operatorname{Cov}(X,Z) = 0$，$\operatorname{Cov}(Y,Z) = \frac{1}{2}$。 现在逐一验证各选项： - **选项(A)**：$\rho_{XY} = 0$，$\rho_{XZ} = 0$，$\rho_{YZ} = \frac{1}{2}$。但题目要求$\rho_{XY} = \frac{1}{2}$，故(A)错误。 - **选项(B)**：$\rho_{XY} = \frac{1}{2}$，$\rho_{XZ} = 0$，$\rho_{YZ} = 0$。但实际$\rho_{YZ} = \frac{1}{2} \neq 0$，故(B)错误。 - **选项(C)**：$\rho_{XY} = 0$，$\rho_{XZ} = 0$，$\rho_{YZ} = \frac{1}{2}$。与计算结果完全一致，故(C)正确。 - **选项(D)**：$\rho_{XY} = \frac{1}{2}$，$\rho_{XZ} = \frac{1}{2}$，$\rho_{YZ} = \frac{1}{2}$。与实际不符，故(D)错误。 因此，只有选项(C)同时满足期望均为0、方差均为1、协方差矩阵为 $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} $$ 的所有条件。最终答案为(C)。