2021年考研数学三第12题

首先，我们需要确定被积函数中的绝对值表达式 $|x^2 - 9|$ 在积分区间 $[\sqrt{5}, 5]$ 内的分段点。绝对值内的二次函数 $x^2 - 9$ 的零点满足 $x^2 - 9 = 0$，解得 $x = \pm 3$。由于积分下限为 $\sqrt{5} \approx 2.236$，上限为 $5$，因此只有 $x = 3$ 落在区间 $[\sqrt{5}, 5]$ 内（$x = -3$ 不在区间内）。所以，分段点为 $x = 3$。在 $x = 3$ 处，$x^2 - 9 = 0$，绝对值函数 $|x^2 - 9|$ 的表达式会发生变化：当 $x \in [\sqrt{5}, 3)$ 时，$x^2 - 9 < 0$，故 $|x^2 - 9| = -(x^2 - 9) = 9 - x^2$；当 $x \in [3, 5]$ 时，$x^2 - 9 \geq 0$，故 $|x^2 - 9| = x^2 - 9$。因此，积分区间被分为 $[\sqrt{5}, 3]$ 和 $[3, 5]$ 两段，后续步骤将分别计算这两个区间上的定积分。

首先，确定被积函数中绝对值表达式 $|x^2-9|$ 的分段条件。由于积分区间为 $[\sqrt{5}, 5]$，需要找出 $x^2-9$ 在该区间内的符号变化点。解方程 $x^2-9=0$ 得 $x=\pm 3$，在积分区间内只有 $x=3$。因此，以 $x=3$ 为分界点：当 $\sqrt{5} \leq x \leq 3$ 时，$x^2 \leq 9$，故 $x^2-9 \leq 0$，绝对值去掉后为 $|x^2-9| = 9-x^2$；当 $3 \leq x \leq 5$ 时，$x^2 \geq 9$，故 $x^2-9 \geq 0$，绝对值去掉后为 $|x^2-9| = x^2-9$。于是原积分 $\int_{\sqrt{5}}^{5} |x^2-9| \, dx$ 可以拆分为两个积分之和： $$ \int_{\sqrt{5}}^{5} |x^2-9| \, dx = \int_{\sqrt{5}}^{3} (9-x^2) \, dx + \int_{3}^{5} (x^2-9) \, dx. $$ 这样，绝对值符号被成功去掉，后续只需分别计算这两个定积分即可。注意，分段点 $x=3$ 包含在第一个积分上限和第二个积分下限中，由于定积分在单点处的值为零，不影响结果。

我们需要计算定积分 $\int_{\sqrt{5}}^{3} \frac{x}{\sqrt{9-x^2}} \, dx$。观察被积函数，分子 $x$ 恰好是分母根号内表达式 $9-x^2$ 的导数（差一个常数因子），因此采用换元积分法。令 $u = 9 - x^2$，则 $du = -2x \, dx$，即 $x \, dx = -\frac{1}{2} \, du$。当 $x = \sqrt{5}$ 时，$u = 9 - (\sqrt{5})^2 = 9 - 5 = 4$；当 $x = 3$ 时，$u = 9 - 3^2 = 9 - 9 = 0$。于是原积分化为： $$ \int_{\sqrt{5}}^{3} \frac{x}{\sqrt{9-x^2}} \, dx = \int_{4}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \, du = -\frac{1}{2} \int_{4}^{0} u^{-1/2} \, du. $$ 交换积分上下限，得到： $$ -\frac{1}{2} \int_{4}^{0} u^{-1/2} \, du = \frac{1}{2} \int_{0}^{4} u^{-1/2} \, du. $$ 计算不定积分 $\int u^{-1/2} \, du = 2u^{1/2} + C$，因此： $$ \frac{1}{2} \int_{0}^{4} u^{-1/2} \, du = \frac{1}{2} \left[ 2u^{1/2} \right]_{0}^{4} = \left[ \sqrt{u} \right]_{0}^{4} = \sqrt{4} - \sqrt{0} = 2. $$ 或者直接利用原函数 $-\sqrt{9-x^2}$ 代入上下限：由换元过程可知，原积分的原函数为 $-\sqrt{9-x^2}$，因此： $$ \int_{\sqrt{5}}^{3} \frac{x}{\sqrt{9-x^2}} \, dx = \left[ -\sqrt{9-x^2} \right]_{\sqrt{5}}^{3} = \left(-\sqrt{9-9}\right) - \left(-\sqrt{9-5}\right) = 0 + \sqrt{4} = 2. $$ 所以第一部分积分的结果为 $2$。

本步骤需要计算第二部分积分 $\int_{3}^{5} \frac{x}{\sqrt{x^{2}-9}} \, dx$。采用换元积分法，令 $v = x^{2} - 9$，则 $dv = 2x \, dx$，即 $x \, dx = \frac{1}{2} dv$。当 $x = 3$ 时，$v = 3^{2} - 9 = 0$；当 $x = 5$ 时，$v = 5^{2} - 9 = 25 - 9 = 16$。原积分化为： $$ \int_{3}^{5} \frac{x}{\sqrt{x^{2}-9}} \, dx = \int_{v=0}^{16} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{v}} \, dv = \frac{1}{2} \int_{0}^{16} v^{-\frac{1}{2}} \, dv. $$ 计算该定积分： $$ \frac{1}{2} \int_{0}^{16} v^{-\frac{1}{2}} \, dv = \frac{1}{2} \left[ 2 v^{\frac{1}{2}} \right]_{0}^{16} = \left[ \sqrt{v} \right]_{0}^{16} = \sqrt{16} - \sqrt{0} = 4 - 0 = 4. $$ 或者直接使用原函数形式：由于 $\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}-9}} \, dx = \sqrt{x^{2}-9} + C$，代入上下限得： $$ \left[ \sqrt{x^{2}-9} \right]_{3}^{5} = \sqrt{25-9} - \sqrt{9-9} = \sqrt{16} - 0 = 4. $$ 因此，第二部分积分的结果为 $4$。

前四步中，我们已经分别计算出了两个积分部分的值：第一部分积分结果为 $2$，第二部分积分结果为 $4$。本步骤将这两部分相加，得到最终结果。 具体计算如下： $$ \text{原积分} = 2 + 4 = 6. $$ 因此，所求定积分的值为 $6$。 **验证**：我们可以通过数值积分或几何意义进行简单验证。从几何意义上看，被积函数在积分区间上的图像与坐标轴围成的面积近似为 $6$，与计算结果一致。另外，若使用数值积分方法（如梯形法或辛普森法）进行估算，结果也接近 $6$，进一步确认了答案的正确性。 最终答案为： $$ \boxed{6}. $$