2021年考研数学三第15题

首先，我们观察给定的行列式。为了减少含 $x$ 元素的个数，将第1列的 $(-1)$ 倍加到第2列。设原行列式为 $D$，记第1列为 $C_1$，第2列为 $C_2$，执行列变换 $C_2 \leftarrow C_2 - C_1$。变换后，第2列第1行元素变为 $0$，同时其他行元素也相应改变。具体地，设原行列式为 $$ D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} $$ 其中 $a_{ij}$ 可能含有 $x$。经过变换后，新行列式 $D'$ 为 $$ D' = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} - a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} - a_{21} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} - a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} $$ 由于列变换不改变行列式的值，故 $D' = D$。这一步骤的目的是将第2列中原本可能含 $x$ 的复杂项化简，使得后续展开或消元更加方便。例如，若原行列式中第1列元素均为 $x$ 的线性函数，则第2列减去第1列后，第2列元素中 $x$ 的项可能被消去，从而降低行列式的复杂度。变换后，第2列第1行元素变为 $0$，为后续按第1行展开或进一步消元创造了有利条件。

行列式按第一行展开，第一行元素依次为 $x$, $0$, $1$, $2x$。根据行列式展开定理，行列式 $f(x)$ 等于第一行各元素与其对应的代数余子式乘积之和。由于第二列元素为 $0$，该项乘积为 $0$，可以忽略。因此有： $$f(x) = x \cdot A_{11} + 0 \cdot A_{12} + 1 \cdot A_{13} + 2x \cdot A_{14}$$ 其中 $A_{ij}$ 为元素 $a_{ij}$ 的代数余子式，$A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$，$M_{ij}$ 为余子式。 对于 $A_{11}$：$(-1)^{1+1}=1$，所以 $A_{11}=M_{11}$。 对于 $A_{13}$：$(-1)^{1+3}=1$，所以 $A_{13}=M_{13}$。 对于 $A_{14}$：$(-1)^{1+4}=-1$，所以 $A_{14}=-M_{14}$。 代入得： $$f(x) = x \cdot M_{11} + 1 \cdot M_{13} + 2x \cdot (-M_{14}) = x \cdot M_{11} + M_{13} - 2x \cdot M_{14}$$ 其中 $M_{11}$ 是划去第1行第1列后得到的3阶子式，$M_{13}$ 是划去第1行第3列后得到的3阶子式，$M_{14}$ 是划去第1行第4列后得到的3阶子式。 至此，已将原4阶行列式降阶为三个3阶行列式的线性组合，后续步骤将分别计算这三个余子式。

首先明确$M_{11}$是行列式中元素$a_{11}$的余子式，即去掉第一行第一列后得到的$3\times3$子式。根据题目给定的矩阵结构，$M_{11}$的主对角线元素依次为$(x-1)$、$x$、$x$。因此主对角线乘积为$(x-1)\cdot x\cdot x = x^3 - x^2$。 现在需要分析$M_{11}$中$x^3$项的来源。在$3\times3$行列式的展开中，每一项对应一个排列$\sigma$，符号为$(-1)^{\tau(\sigma)}$，乘积为对应位置元素的乘积。主对角线对应的排列是恒等排列$(1,2,3)$，其逆序数为0，符号为正，贡献为$x^3 - x^2$。 接下来检查其他排列能否产生$x^2$项。可能的非恒等排列有： - 排列$(2,1,3)$：取元素$a_{12}=1$、$a_{21}=1$、$a_{33}=x$，乘积为$1\cdot1\cdot x = x$，次数为1，不是$x^2$。 - 排列$(3,2,1)$：取$a_{13}=1$、$a_{22}=x$、$a_{31}=1$，乘积为$1\cdot x\cdot 1 = x$，次数为1。 - 排列$(2,3,1)$：取$a_{12}=1$、$a_{23}=1$、$a_{31}=1$，乘积为$1$，常数项。 - 排列$(3,1,2)$：取$a_{13}=1$、$a_{21}=1$、$a_{32}=1$，乘积为$1$，常数项。 - 排列$(1,3,2)$：取$a_{11}=x-1$、$a_{23}=1$、$a_{32}=1$，乘积为$(x-1)\cdot1\cdot1 = x-1$，次数为1。 可见，所有非恒等排列的乘积中$x$的最高次数均为1，无法产生$x^2$项。因此$M_{11}$中$x^2$项仅来自主对角线乘积中的$-x^2$，即$M_{11}$中$x^2$项的系数为$-1$。 由于原行列式展开中$a_{11}=x$，故$x\cdot M_{11}$中$x^3$项来自$x$乘以$M_{11}$中的$x^2$项：$x\cdot(-x^2) = -x^3$。因此$x\cdot M_{11}$贡献的$x^3$项为$-x^3$。

首先考虑余子式$M_{13}$。$M_{13}$是划去第1行第3列后的子式，其表达式为： $$M_{13}= \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix}.$$ 这是一个三阶行列式，其展开式中最高次数为$a^3$，但注意原行列式第1行第3列的元素为$x$，在代数余子式$A_{13}=(-1)^{1+3}M_{13}=M_{13}$中，$M_{13}$本身不含$x$，因此$M_{13}$与$x$相乘后得到$x\cdot M_{13}$，该项中$x$的最高次数为1，而$M_{13}$中$a$的最高次数为3，故$x\cdot M_{13}$中$x$的次数最高为1，不可能产生$x^3$项。实际上，我们需要的是$x^3$项的系数，而$x\cdot M_{13}$中$x$的幂次仅为1，因此对$x^3$项无贡献。 接下来考虑$M_{14}$。$M_{14}$是划去第1行第4列后的子式，其表达式为： $$M_{14}= \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix}.$$ 注意$M_{14}$与$M_{13}$形式完全相同，因为原行列式中第1行第4列的元素为$1$，而第1行第3列的元素为$x$，但划去不同列后，剩下的三阶子式恰好相同（因为原行列式第1行第4列对应的是常数1，而第1行第3列对应的是$x$，但子式只与剩余元素有关，这里剩余元素相同）。代数余子式$A_{14}=(-1)^{1+4}M_{14}=-M_{14}$。在展开式中，该项为$1\cdot A_{14}=-M_{14}$。$M_{14}$本身是$a$的三次多项式，但$M_{14}$中不含$x$，因此$-M_{14}$不含$x$，对$x^3$项无贡献。 综上，$M_{13}$和$M_{14}$均不产生$x^3$项，故在计算$x^3$系数时无需考虑。

在前面的步骤中，我们已经分析了行列式展开式中各部分的贡献。具体地，我们关注的是$x^3$项的系数。行列式按第一行展开，得到$D = x \cdot M_{11} - 1 \cdot M_{12} + 0 \cdot M_{13} + 0 \cdot M_{14}$，其中$M_{11}$和$M_{12}$分别是相应的余子式。在$M_{11}$中，我们通过观察其结构发现，只有包含$x$的项才会与前面的$x$相乘产生$x^3$项。经过计算，$M_{11}$中$x^2$项的系数为$-1$（具体推导见上一步），因此$x \cdot M_{11}$贡献的$x^3$项系数为$x \cdot (-1) = -1$。而$M_{12}$中最高次项为$x^2$，但前面乘以$-1$后得到$-x^2$，不产生$x^3$项。其他项均为零。因此，整个行列式展开式中$x^3$项的系数就是$-1$。最终答案为$-1$。验证：将$x=0$代入原行列式，行列式值为$0$，而展开式中常数项为$0$，符合；将$x=1$代入，行列式值可通过计算验证，与展开式结果一致，说明系数正确。