2021年考研数学三第2题

首先，我们需要验证函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性。根据连续性的定义，函数在 $x=0$ 处连续当且仅当 $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$。已知 $f(0)=1$，因此只需计算 $\lim_{x \to 0} f(x)$。 题目中给出的函数为 $f(x) = \frac{\ln(1+x)}{x}$（当 $x \neq 0$ 时），且 $f(0)=1$。计算极限： $$ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}. $$ 这是一个 $\frac{0}{0}$ 型未定式，可以利用重要极限或等价无穷小来求解。 **方法一：利用重要极限** 回忆重要极限 $\lim_{u \to 0} (1+u)^{1/u} = e$，两边取自然对数得 $\lim_{u \to 0} \frac{\ln(1+u)}{u} = 1$。令 $u=x$，即得 $$ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1. $$ **方法二：利用等价无穷小** 当 $x \to 0$ 时，$\ln(1+x) \sim x$，因此 $$ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1. $$ 两种方法均得到极限为 $1$。由于 $f(0)=1$，所以 $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$，因此函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续。 至此，连续性验证完毕。

根据导数定义，函数$f(x)$在$x=0$处的导数为： $$ f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x}. $$ 已知$f(0) = 0$，且当$x \neq 0$时，$f(x) = \frac{e^x - 1 - x}{x}$。代入得： $$ f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^x - 1 - x}{x} - 0}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}. $$ 因此，问题转化为求极限$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$。该极限为$\frac{0}{0}$型未定式，可使用洛必达法则或泰勒展开求解。此处我们保留极限形式，后续步骤将计算该极限值。注意：在计算过程中，需确保分母不为零，且极限存在。

由前一步已知，需要计算极限 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$，其中 $f(x)$ 满足 $f(0)=0$ 且 $f'(0)$ 存在。由于分子 $f(x) \to 0$，分母 $x \to 0$，该极限为 $\frac{0}{0}$ 型未定式，因此可以使用洛必达法则。对分子分母分别求导，得到： $$ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{1} = f'(0). $$ 但题目中给出的极限形式可能更为复杂，例如原题中涉及 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\sin x}$ 或 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\ln(1+x)}$ 等。利用等价无穷小替换，当 $x \to 0$ 时，$\sin x \sim x$，$\ln(1+x) \sim x$，$\tan x \sim x$ 等，因此可将分母替换为 $x$，从而转化为上述形式。 具体地，假设原极限为 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\sin x}$，则利用 $\sin x \sim x$ 得： $$ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} \cdot \frac{x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} \cdot 1 = f'(0). $$ 若原极限为 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\ln(1+x)}$，则 $\ln(1+x) \sim x$，同理可得极限值为 $f'(0)$。 根据题目条件，通过计算得到该极限值为 $\frac{1}{2}$，因此 $f'(0) = \frac{1}{2} \neq 0$。这一结果说明 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的导数非零，为后续步骤（如判断极值或拐点）提供了关键信息。

由前几步的分析，已知函数$f(x)$在$x=0$处连续，且$f'(0) \neq 0$。我们逐一验证四个选项。 **选项A**：$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = f'(0) \neq 0$，但题目中极限值为$0$，故A错误。 **选项B**：$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2}$，由于$f(0)=0$且$f'(0) \neq 0$，当$x \to 0$时$f(x) \sim f'(0)x$，因此$\frac{f(x)}{x^2} \sim \frac{f'(0)}{x} \to \infty$，极限不存在（无穷大），故B错误。 **选项C**：$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\sin x}$，利用等价无穷小$\sin x \sim x$，得$\frac{f(x)}{\sin x} \sim \frac{f(x)}{x} \to f'(0) \neq 0$，极限非零，故C错误。 **选项D**：$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{1-\cos x}$，利用等价无穷小$1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2$，得$\frac{f(x)}{1-\cos x} \sim \frac{f(x)}{\frac{1}{2}x^2} = 2 \cdot \frac{f(x)}{x^2}$。由于$f(x) \sim f'(0)x$，$\frac{f(x)}{x^2} \sim \frac{f'(0)}{x} \to \infty$，因此该极限为无穷大，即极限不存在（非零常数），故D正确。 综上所述，正确答案为D。