2010年考研数学一第17题

首先，我们需要分析被积函数 $|\ln t|[\ln(1+t)]^n$ 在积分区间 $[0,1]$ 上的性质。由于 $t \in [0,1]$，$\ln t \leq 0$，因此 $|\ln t| = -\ln t$。同时，对于 $t \in [0,1]$，有 $0 \leq t \leq 1$，此时可以利用已知不等式：当 $0 \leq t \leq 1$ 时，$\ln(1+t) \leq t$。这是因为函数 $f(t)=\ln(1+t)-t$ 在 $[0,1]$ 上满足 $f(0)=0$，且 $f'(t)=\frac{1}{1+t}-1 \leq 0$，故 $f(t) \leq 0$，即 $\ln(1+t) \leq t$。 将不等式两边同时取 $n$ 次幂（$n$ 为正整数，幂次保持不等号方向不变），得到 $[\ln(1+t)]^n \leq t^n$。然后乘以非负的 $|\ln t|$（因为 $|\ln t| \geq 0$ 在 $(0,1]$ 上成立，在 $t=0$ 处为瑕点，但不等式在开区间内成立），得到： $$|\ln t|[\ln(1+t)]^n \leq t^n |\ln t|.$$ 这样，我们就将原被积函数放缩为一个更简单的形式 $t^n |\ln t|$，便于后续积分估计。注意，该不等式在 $t \in (0,1]$ 上成立，在 $t=0$ 处需考虑极限行为，但瑕积分比较时只需在 $(0,1]$ 上成立即可。

在第一步中，我们已得到被积函数的不等式：当 $t \in (0,1]$ 时，有 $\ln(1+t) \leq t$。由于 $\ln(1+t) \geq 0$ 且 $|\ln t| \geq 0$，因此对不等式两边同时乘以非负的 $|\ln t|$，不等号方向不变： $$|\ln t| \cdot \ln(1+t) \leq |\ln t| \cdot t.$$ 即 $$|\ln t| \,[\ln(1+t)]^n \leq t^n |\ln t|, \quad \forall t \in (0,1].$$ 这里 $n$ 是正整数，因为 $\ln(1+t) \leq t$ 且两边非负，所以 $[\ln(1+t)]^n \leq t^n$ 成立。 接下来，利用定积分的保序性（若在区间 $[a,b]$ 上 $f(x) \leq g(x)$，则 $\int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b g(x)\,dx$），对上述不等式在区间 $[0,1]$ 上积分（注意 $t=0$ 处被积函数有瑕点，但瑕积分收敛，不影响保序性）： $$\int_0^1 |\ln t| \,[\ln(1+t)]^n \,dt \leq \int_0^1 t^n |\ln t| \,dt.$$ 这样我们就得到了两个积分之间的大小关系。

由题目条件，被积函数 $f_n(t) = t^n \ln t$ 在区间 $(0,1]$ 上非正（因为 $\ln t \leq 0$），但第一问中我们考虑的是 $|\ln t|$，因此实际被积函数为 $t^n |\ln t|$，显然非负。根据第一问的结果，有 $u_n = \int_0^1 t^n |\ln t| \, dt$。 现在要建立夹逼不等式。注意到对于 $t \in (0,1]$，有 $0 \leq t^n |\ln t| \leq t^n |\ln t|$ 恒成立，但我们需要一个更紧的上界。考虑将积分区间分为两段：$[0, \delta]$ 和 $[\delta, 1]$，其中 $\delta$ 是一个待定的小正数。 在 $[\delta, 1]$ 上，$|\ln t| \leq |\ln \delta|$，所以 $$ \int_\delta^1 t^n |\ln t| \, dt \leq |\ln \delta| \int_\delta^1 t^n \, dt = |\ln \delta| \cdot \frac{1 - \delta^{n+1}}{n+1}. $$ 在 $[0, \delta]$ 上，$t^n |\ln t|$ 的积分可以通过变量代换 $t = e^{-x}$ 处理：令 $t = e^{-x}$，则 $dt = -e^{-x} dx$，当 $t \in [0, \delta]$ 时 $x \in [\ln(1/\delta), \infty)$，于是 $$ \int_0^\delta t^n |\ln t| \, dt = \int_{\ln(1/\delta)}^\infty e^{-(n+1)x} x \, dx. $$ 该积分可计算为 $\frac{e^{-(n+1)\ln(1/\delta)}}{(n+1)^2} \left( (n+1)\ln(1/\delta) + 1 \right) = \frac{\delta^{n+1}}{(n+1)^2} \left( (n+1)\ln(1/\delta) + 1 \right)$。 取 $\delta = 1/n$，则 $\ln(1/\delta) = \ln n$。于是 $$ \int_0^{1/n} t^n |\ln t| \, dt = \frac{(1/n)^{n+1}}{(n+1)^2} \left( (n+1)\ln n + 1 \right), $$ $$ \int_{1/n}^1 t^n |\ln t| \, dt \leq \frac{\ln n}{n+1} \left(1 - \left(\frac{1}{n}\right)^{n+1}\right). $$ 因此 $$ u_n \leq \frac{\ln n}{n+1} \left(1 - \left(\frac{1}{n}\right)^{n+1}\right) + \frac{(1/n)^{n+1}}{(n+1)^2} \left( (n+1)\ln n + 1 \right). $$ 当 $n \to \infty$ 时，$(1/n)^{n+1}$ 衰减极快，故主要项为 $\frac{\ln n}{n+1}$。同时，由被积函数非负，显然有 $0 \leq u_n$。因此得到夹逼不等式： $$ 0 \leq u_n \leq \frac{\ln n}{n+1} + o\left(\frac{\ln n}{n}\right). $$ 更简洁地，由第一问结果直接可得 $0 \leq u_n \leq \int_0^1 t^n |\ln t| \, dt$，但此处我们给出了更精确的估计。

我们需要计算积分 $\int_0^1 t^n |\ln t| \, dt$。由于在区间 $(0,1)$ 上 $\ln t < 0$，因此 $|\ln t| = -\ln t$，于是积分化为： $$\int_0^1 t^n |\ln t| \, dt = -\int_0^1 t^n \ln t \, dt.$$ 接下来计算 $I = -\int_0^1 t^n \ln t \, dt$。采用分部积分法，令 $u = \ln t$，$dv = t^n \, dt$，则 $du = \frac{1}{t} \, dt$，$v = \frac{t^{n+1}}{n+1}$。于是： $$\int_0^1 t^n \ln t \, dt = \left[ \frac{t^{n+1}}{n+1} \ln t \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{t^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{1}{t} \, dt = \left[ \frac{t^{n+1}}{n+1} \ln t \right]_0^1 - \frac{1}{n+1} \int_0^1 t^n \, dt.$$ 计算边界项：当 $t \to 0^+$ 时，$t^{n+1} \ln t \to 0$（因为 $n+1>0$），当 $t=1$ 时 $\ln 1 = 0$，所以边界项为 $0$。因此： $$\int_0^1 t^n \ln t \, dt = -\frac{1}{n+1} \int_0^1 t^n \, dt = -\frac{1}{n+1} \cdot \frac{1}{n+1} = -\frac{1}{(n+1)^2}.$$ 于是原积分： $$-\int_0^1 t^n \ln t \, dt = -\left(-\frac{1}{(n+1)^2}\right) = \frac{1}{(n+1)^2}.$$ 另一种方法：令 $x = -\ln t$，则 $t = e^{-x}$，$dt = -e^{-x} \, dx$，当 $t=0$ 时 $x \to +\infty$，当 $t=1$ 时 $x=0$，于是： $$\int_0^1 t^n |\ln t| \, dt = \int_0^1 t^n (-\ln t) \, dt = \int_{+\infty}^0 e^{-nx} \cdot x \cdot (-e^{-x}) \, dx = \int_0^{+\infty} x e^{-(n+1)x} \, dx.$$ 利用Gamma函数或分部积分可得该积分为 $\frac{1}{(n+1)^2}$，结果一致。