2023年考研数学三第14题

设函数 $f(t)$ 表示该企业在时刻 $t$ 的资产总额，且 $f(t)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续可导。根据题意，企业在任意时刻 $t$ 的平均资产定义为 $\frac{1}{t}\int_0^t f(s)\,ds$。已知该平均资产等于 $\frac{f(t)}{t} - t$，因此得到等式： $$ \frac{1}{t}\int_0^t f(s)\,ds = \frac{f(t)}{t} - t. $$ 为了消去分母中的 $t$，将等式两边同时乘以 $t$（注意 $t>0$），得到： $$ \int_0^t f(s)\,ds = f(t) - t^2. $$ 这就是由平均资产定义所建立的积分方程。该方程将未知函数 $f(t)$ 的积分与函数本身联系起来，是后续求解微分方程的基础。注意，该方程对任意 $t>0$ 成立，且隐含了初始条件 $f(0)=0$（令 $t\to 0^+$ 可得）。

已知等式为 $f(t) = \int_0^t f'(x) \, dx - t^2$。为了消去积分，将等式两边同时对 $t$ 求导。左边 $f(t)$ 的导数为 $f'(t)$。右边第一项 $\int_0^t f'(x) \, dx$ 是积分上限为变量的积分，根据微积分基本定理，其导数为被积函数在上限处的值，即 $f'(t)$。右边第二项 $-t^2$ 的导数为 $-2t$。因此求导后得到： $$f'(t) = f'(t) - 2t.$$ 移项整理，将 $f'(t)$ 移到左边： $$f'(t) - f'(t) = -2t,$$ 即 $0 = -2t$，这显然不成立。检查发现原等式右边应为 $f(t) = \int_0^t f'(x) \, dx - t^2$，但求导后左边是 $f'(t)$，右边第一项导数是 $f'(t)$，两者相减得 $0$，导致矛盾。实际上，题目中原始等式应为 $f(t) = \int_0^t f(x) \, dx - t^2$ 或类似形式。根据步骤目标“求导转化为微分方程”及步骤概要“左边导数为 $f(t)$，右边导数为 $f'(t)-2t$，得到 $f(t)=f'(t)-2t$”，可知原等式应为 $\int_0^t f(x) \, dx = f(t) - t^2$ 或 $f(t) = \int_0^t f'(x) \, dx - t^2$ 的变形。为符合步骤概要，我们采用正确的设定：设原等式为 $\int_0^t f(x) \, dx = f(t) - t^2$。两边对 $t$ 求导：左边导数为 $f(t)$，右边导数为 $f'(t) - 2t$，得到 $$f(t) = f'(t) - 2t.$$ 整理得 $$f'(t) - f(t) = 2t.$$ 这就是所求的一阶线性微分方程。

本步骤的目标是求解一阶线性微分方程。根据步骤概要，已知方程的标准形式为 $f'(t) + f(t) = 2t$，对应一阶线性微分方程 $y' + P(t)y = Q(t)$，其中 $P(t)=1$，$Q(t)=2t$。 首先计算积分因子 $\mu(t) = e^{\int P(t) dt} = e^{\int 1 dt} = e^{t}$。 然后利用公式求解： $$f(t) = e^{-\int P(t) dt} \left[ \int Q(t) e^{\int P(t) dt} dt + C \right] = e^{-t} \left[ \int 2t \cdot e^{t} dt + C \right]$$ 计算积分 $\int 2t e^{t} dt$，使用分部积分法：令 $u=2t$，$dv=e^{t}dt$，则 $du=2dt$，$v=e^{t}$，于是 $$\int 2t e^{t} dt = 2t e^{t} - \int 2 e^{t} dt = 2t e^{t} - 2e^{t} + C_1 = 2e^{t}(t-1) + C_1$$ 代入得： $$f(t) = e^{-t} \left[ 2e^{t}(t-1) + C_1 + C \right] = e^{-t} \left[ 2e^{t}(t-1) + C \right]$$ 其中常数合并为 $C$。 化简得： $$f(t) = 2(t-1) + C e^{-t}$$ 因此，一阶线性微分方程的通解为 $f(t) = 2t - 2 + C e^{-t}$，其中 $C$ 为任意常数。

本步骤的目标是计算积分 $\int 2t e^{-t} dt$ 并代入原方程得到函数 $f(t)$ 的通解。 首先，计算不定积分 $\int 2t e^{-t} dt$。由于被积函数是 $2t$ 与 $e^{-t}$ 的乘积，适合使用分部积分法。设 $u = 2t$，$dv = e^{-t} dt$，则 $du = 2 dt$，$v = -e^{-t}$。根据分部积分公式 $\int u dv = uv - \int v du$，有： $$ \int 2t e^{-t} dt = 2t \cdot (-e^{-t}) - \int (-e^{-t}) \cdot 2 dt = -2t e^{-t} + 2 \int e^{-t} dt. $$ 计算 $\int e^{-t} dt = -e^{-t}$，代入得： $$ \int 2t e^{-t} dt = -2t e^{-t} + 2(-e^{-t}) + C = -2t e^{-t} - 2e^{-t} + C = -2e^{-t}(t+1) + C. $$ 现在，将积分结果代入之前得到的表达式 $f(t) = e^t \left[ \int 2t e^{-t} dt + C \right]$ 中（注意这里的 $C$ 为任意常数，可与积分常数合并）。因此： $$ f(t) = e^t \left[ -2e^{-t}(t+1) + C \right] = e^t \cdot (-2e^{-t}(t+1)) + e^t \cdot C = -2(t+1) + C e^t. $$ 这样就得到了函数 $f(t)$ 的通解形式：$f(t) = -2(t+1) + C e^t$，其中 $C$ 为任意常数。

我们已经得到通解形式为 $f(t) = -2(t+1) + Ce^t$，其中 $C$ 是待定常数。现在利用初始条件 $f(0) = 0$ 来确定 $C$ 的值。将 $t = 0$ 代入通解： $$f(0) = -2(0+1) + Ce^0 = -2 \cdot 1 + C \cdot 1 = -2 + C$$ 由初始条件 $f(0) = 0$ 得方程： $$-2 + C = 0$$ 解得 $C = 2$。将 $C = 2$ 代回通解，得到满足初始条件的特解： $$f(t) = -2(t+1) + 2e^t = 2e^t - 2t - 2$$ 因此，所求函数为 $f(t) = 2e^t - 2t - 2$。验证：当 $t=0$ 时，$f(0)=2-0-2=0$，满足初始条件。至此，我们完成了整个求解过程。