2023年考研数学三第16题

首先，已知随机变量 $X$ 服从参数为 $p$ 的0-1分布，记作 $X \sim B(1, p)$。对于二项分布 $B(n, p)$，其方差公式为 $D(X) = np(1-p)$。当 $n=1$ 时，代入得 $D(X) = 1 \cdot p(1-p) = p(1-p)$。 其次，随机变量 $Y$ 服从参数为 $n=2$，成功概率为 $p$ 的二项分布，记作 $Y \sim B(2, p)$。同样利用二项分布的方差公式 $D(Y) = np(1-p)$，代入 $n=2$ 得 $D(Y) = 2 \cdot p(1-p) = 2p(1-p)$。 因此，我们得到 $X$ 的方差为 $p(1-p)$，$Y$ 的方差为 $2p(1-p)$。这两个方差将在后续步骤中用于计算协方差和相关系数。

我们需要计算随机变量 $X+Y$ 与 $X-Y$ 的协方差 $\operatorname{Cov}(X+Y,\,X-Y)$。根据协方差的线性性质，对于任意随机变量 $A,B,C,D$ 和常数 $a,b,c,d$，有 $\operatorname{Cov}(aA+bB,\,cC+dD)=ac\operatorname{Cov}(A,C)+ad\operatorname{Cov}(A,D)+bc\operatorname{Cov}(B,C)+bd\operatorname{Cov}(B,D)$。特别地，当 $A=C=X$，$B=D=Y$，且 $a=1,b=1,c=1,d=-1$ 时，得到： $$ \begin{aligned} \operatorname{Cov}(X+Y,\,X-Y) &= 1\cdot1\cdot\operatorname{Cov}(X,X) + 1\cdot(-1)\cdot\operatorname{Cov}(X,Y) \\ &\quad + 1\cdot1\cdot\operatorname{Cov}(Y,X) + 1\cdot(-1)\cdot\operatorname{Cov}(Y,Y) \\ &= \operatorname{Cov}(X,X) - \operatorname{Cov}(X,Y) + \operatorname{Cov}(Y,X) - \operatorname{Cov}(Y,Y). \end{aligned} $$ 由于协方差具有对称性 $\operatorname{Cov}(X,Y)=\operatorname{Cov}(Y,X)$，上式可化简为： $$ \operatorname{Cov}(X+Y,\,X-Y) = \operatorname{Cov}(X,X) - \operatorname{Cov}(Y,Y) = \operatorname{Var}(X) - \operatorname{Var}(Y). $$ 由题目已知条件（或前一步骤结果），$X$ 服从参数为 $p$ 的0-1分布，故 $\operatorname{Var}(X)=p(1-p)$；$Y$ 服从参数为 $2p$ 的二项分布（$n=2$），故 $\operatorname{Var}(Y)=2p(1-p)$。代入得： $$ \operatorname{Cov}(X+Y,\,X-Y) = p(1-p) - 2p(1-p) = -p(1-p). $$ 因此，$X+Y$ 与 $X-Y$ 的协方差为 $-p(1-p)$。

由于随机变量$X$与$Y$相互独立，根据方差的性质，和的方差等于方差之和，差的方差也等于方差之和（因为独立时协方差为零）。具体地，有： $$D(X+Y)=DX+DY+2\text{Cov}(X,Y)$$ $$D(X-Y)=DX+DY-2\text{Cov}(X,Y)$$ 当$X$与$Y$独立时，$\text{Cov}(X,Y)=0$，因此： $$D(X+Y)=DX+DY,\quad D(X-Y)=DX+DY$$ 由前面步骤已知，$X\sim B(1,p)$，$Y\sim B(2,p)$，且$X$与$Y$独立。二项分布的方差公式为：若$Z\sim B(n,p)$，则$DZ=np(1-p)$。因此： $$DX=1\cdot p(1-p)=p(1-p)$$ $$DY=2\cdot p(1-p)=2p(1-p)$$ 代入得： $$D(X+Y)=DX+DY=p(1-p)+2p(1-p)=3p(1-p)$$ $$D(X-Y)=DX+DY=p(1-p)+2p(1-p)=3p(1-p)$$ 因此，$X+Y$与$X-Y$的方差相等，均为$3p(1-p)$。

我们已经在前面的步骤中计算出： - 协方差 $\operatorname{Cov}(X+Y,\,X-Y) = -p(1-p)$ - 方差 $D(X+Y) = 3p(1-p)$ - 方差 $D(X-Y) = 3p(1-p)$ 现在代入相关系数公式： $$ \rho = \frac{\operatorname{Cov}(X+Y,\,X-Y)}{\sqrt{D(X+Y)\cdot D(X-Y)}} $$ 将数值代入： $$ \rho = \frac{-p(1-p)}{\sqrt{[3p(1-p)]\cdot[3p(1-p)]}} = \frac{-p(1-p)}{\sqrt{9p^2(1-p)^2}} $$ 由于 $p(1-p) > 0$（$0

公式：\rho = \frac{\operatorname{Cov}(X+Y,\,X-Y)}{\sqrt{D(X+Y)\cdot D(X-Y)}} = -\frac{1}{3}

提示：注意 p(1-p) 恒正，开方后直接约分，结果与 p 无关。