2004年考研数学一第23题

解答题 · 10分

📝 题目

设总体 $X$ 的分布函数为 $$ F(x ; \beta)= \begin{cases}1-\frac{1}{x^{\beta}}, & x\gt 1 \\ 0, & x \leqslant 1\end{cases} $$
其中未知参数 $\beta\gt 1, X_{1}, \bar{X}_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，求： （I）$\beta$ 的矩估计量； （ II ）$\beta$ 的最大似然估计量．

💡 答案解析

**答案**: 见解析

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**解析**:

【详解】 $X$ 的概率密度为

$$ f(x ; \beta)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{\beta}{x^{\beta+1}}, & x>1, \\ 0, & x \leq 1 . \end{array}\right. $$

（I）矩估计．由数学期望的定义：

$$ E X=\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x ; \beta) d x=\int_1^{+\infty} x \cdot \frac{\beta}{x^{\beta+1}} d x=\frac{\beta}{\beta-1} $$

用样本均值估计期望有 $E X=\bar{X}$ ，令 $\displaystyle\frac{\beta}{\beta-1}=\bar{X}$ ，解得 $\beta=\displaystyle\frac{\bar{X}}{\bar{X}-1}$ ，所以参数 $\beta$ 的矩估计量为

$$ \hat{\beta}=\frac{\bar{X}}{\bar{X}-1} . \quad \text { 其中 } \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i $$ （II）最大似然估计．设 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 是相应于样本 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 的一组观测值，则似然 函数为：

$$ L(\beta)=\prod_{i=1}^n f\left(x_i ; \beta\right)=\left\{\begin{array}{c} \frac{\beta^n}{\left(x_1 x_2 \cdots x_n\right)^{\beta+1}}, x_i>1(i=1,2, \cdots, n), ~ \\ 0, \text { 其他 } \end{array}\right. $$

当 $x_i>1(i=1,2, \cdots, n)$ 时，$L(\beta)>0, L(\beta)$ 与 $\ln L(\beta)$ 在相同的 $\beta$ 点取得最大值；

所以等式两边取自然对数，得 $\quad \ln L(\beta)=n \ln \beta-(\beta+1) \displaystyle\sum_{i=1}^n \ln x_i$ ， 两边对 $\beta$ 求导，得 $\quad \displaystyle\frac{d \ln L(\beta)}{d \beta}=\displaystyle\frac{n}{\beta}-\displaystyle\sum_{i=1}^n \ln x_i$ ， 令 $\displaystyle\frac{d \ln L(\beta)}{d \beta}=0$ ，可得 $\beta=\displaystyle\frac{n}{\displaystyle\sum_{i=1}^n \ln x_i}$ ，

解得 $\beta$ 的最大似然估计值为：$\hat{\beta}=\displaystyle\frac{n}{\displaystyle\sum_{i=1}^n \ln x_i}$

📋 详细解题步骤

步骤 1/7
目标：由分布函数求概率密度函数
已知总体$X$的分布函数为$F(x;\beta) = 1 - \frac{1}{x^{\beta}}, \quad x > 1$，其中$\beta > 0$为未知参数。根据概率论中分布函数与概率密度函数的关系，对于连续型随机变量，概率密度函数$f(x;\beta)$是分布函数$F(x;\beta)$的导数，即$f(x;\beta) = \frac{d}{dx} F(x;\beta)$。 对$F(x;\beta)$求导： $$f(x;\beta) = \frac{d}{dx} \left(1 - \frac{1}{x^{\beta}}\right) = \frac{d}{dx} \left(1 - x^{-\beta}\right) = 0 - (-\beta) x^{-\beta-1} = \beta x^{-\beta-1} = \frac{\beta}{x^{\beta+1}}.$$ 注意，分布函数仅在$x > 1$时有定义，因此概率密度函数也仅在$x > 1$时非零；当$x \leq 1$时，$F(x;\beta)=0$，故$f(x;\beta)=0$。综上，概率密度函数为： $$f(x;\beta) = \begin{cases} \dfrac{\beta}{x^{\beta+1}}, & x > 1, \\ 0, & x \leq 1. \end{cases}$$ 该结果满足概率密度函数的非负性和归一性（可验证$\int_{1}^{+\infty} \frac{\beta}{x^{\beta+1}} dx = 1$）。
公式：$$f(x;\beta) = \frac{d}{dx}F(x;\beta) = \frac{\beta}{x^{\beta+1}}, \quad x > 1$$
提示：求导时注意将$\frac{1}{x^{\beta}}$写成$x^{-\beta}$，再使用幂函数求导公式。
步骤 2/7
目标：计算总体期望E(X)
根据期望的定义，对于连续型随机变量$X$，其数学期望为$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx$。已知概率密度函数为$f(x)=\begin{cases} \frac{\beta}{x^{\beta+1}}, & x>1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$，其中$\beta>1$。因此积分区间为$(1,+\infty)$，有 $$E(X)=\int_{1}^{+\infty} x \cdot \frac{\beta}{x^{\beta+1}} dx = \beta \int_{1}^{+\infty} x^{-\beta} dx.$$ 计算该广义积分： $$\int_{1}^{+\infty} x^{-\beta} dx = \left. \frac{x^{-\beta+1}}{-\beta+1} \right|_{1}^{+\infty} = \lim_{b \to +\infty} \frac{b^{1-\beta}}{1-\beta} - \frac{1^{1-\beta}}{1-\beta}.$$ 由于$\beta>1$，则$1-\beta<0$，故$\lim_{b \to +\infty} b^{1-\beta}=0$，所以 $$\int_{1}^{+\infty} x^{-\beta} dx = 0 - \frac{1}{1-\beta} = \frac{1}{\beta-1}.$$ 因此 $$E(X)=\beta \cdot \frac{1}{\beta-1} = \frac{\beta}{\beta-1}.$$ 注意：该期望存在的条件是$\beta>1$，否则积分发散。
公式：$$E(X)=\int_{1}^{+\infty} x \cdot \frac{\beta}{x^{\beta+1}} dx = \frac{\beta}{\beta-1}$$
提示：计算时先化简被积函数为$x^{-\beta}$，再积分，注意$\beta>1$保证收敛。
步骤 3/7
目标：建立矩估计方程并求解
矩估计法的核心思想是用样本矩代替总体矩，从而建立方程求解参数。本题中，总体$X$的期望为$E(X)=\frac{\beta}{\beta-1}$（$\beta>1$），样本均值为$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$。令一阶样本矩等于一阶总体矩，即$$\bar{X}=E(X)=\frac{\beta}{\beta-1}.$$ 这是一个关于$\beta$的方程，需要从中解出$\beta$的矩估计量$\hat{\beta}$。将方程两边乘以$(\beta-1)$得$$\bar{X}(\beta-1)=\beta.$$ 展开左边：$\bar{X}\beta-\bar{X}=\beta$。移项，将所有含$\beta$的项移到等号一边：$\bar{X}\beta-\beta=\bar{X}$，即$\beta(\bar{X}-1)=\bar{X}$。由于$\bar{X}>1$（因为$\beta>1$时$E(X)>1$，且样本均值是总体期望的无偏估计，故$\bar{X}$应大于1），两边除以$(\bar{X}-1)$得$$\hat{\beta}=\frac{\bar{X}}{\bar{X}-1}.$$ 这就是参数$\beta$的矩估计量。注意，该表达式要求$\bar{X}\neq1$，而实际中$\bar{X}>1$通常成立。至此，矩估计方程建立并求解完毕。
公式：$$\bar{X}=\frac{\beta}{\beta-1} \quad \Rightarrow \quad \hat{\beta}=\frac{\bar{X}}{\bar{X}-1}$$
提示：矩估计的关键是正确写出总体矩的表达式，然后令其等于对应的样本矩，再解方程。
步骤 4/7
目标：写出似然函数
根据题目信息，总体$X$服从参数为$\beta$的帕累托分布，其概率密度函数为： $$f(x;\beta)=\begin{cases} \dfrac{\beta}{x^{\beta+1}}, & x>1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$ 其中$\beta>0$为未知参数。 设$x_1,x_2,\ldots,x_n$为来自该总体的样本观测值，且满足$x_i>1\ (i=1,2,\ldots,n)$。由于各样本独立同分布，似然函数$L(\beta)$等于所有样本点概率密度函数的乘积： $$L(\beta)=\prod_{i=1}^{n}f(x_i;\beta)=\prod_{i=1}^{n}\frac{\beta}{x_i^{\beta+1}}$$ 将乘积展开，分子部分为$\beta$连乘$n$次，即$\beta^n$；分母部分为$x_i^{\beta+1}$的连乘，即$\prod_{i=1}^{n}x_i^{\beta+1}$。利用指数运算性质，$\prod_{i=1}^{n}x_i^{\beta+1}=\left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)^{\beta+1}$。因此似然函数可写为： $$L(\beta)=\frac{\beta^n}{\left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)^{\beta+1}}$$ 该表达式仅在所有$x_i>1$时成立，否则似然函数值为0（因为概率密度函数为0）。由于观测值均来自总体，实际中$x_i>1$自然满足。 为了便于后续求极大似然估计，通常对似然函数取自然对数，得到对数似然函数： $$\ln L(\beta)=n\ln\beta-(\beta+1)\sum_{i=1}^{n}\ln x_i$$ 至此，似然函数已成功构造，下一步将对$\ln L(\beta)$关于$\beta$求导并令其为零，以求解$\beta$的极大似然估计量。
公式：$$L(\beta)=\frac{\beta^n}{\left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)^{\beta+1}},\quad x_i>1$$
提示：构造似然函数时，先写出每个样本的密度，再连乘，最后利用指数性质化简。
步骤 5/7
目标：对似然函数取自然对数
已知第4步得到的似然函数为： $$L(\beta) = \beta^n \left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^{-(\beta+1)}$$ 其中 $x_i > 0$，$\beta > 0$。 为了简化乘积形式的似然函数，便于后续求导求极值，对似然函数取自然对数。自然对数具有将乘积转化为求和、将幂指数转化为乘积的性质，从而大大简化计算。 对 $L(\beta)$ 取自然对数： $$\ln L(\beta) = \ln \left[ \beta^n \left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^{-(\beta+1)} \right]$$ 利用对数运算法则：$\ln(ab) = \ln a + \ln b$，以及 $\ln(a^c) = c \ln a$，得到： $$\ln L(\beta) = \ln(\beta^n) + \ln\left[ \left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^{-(\beta+1)} \right]$$ 进一步计算： $$\ln(\beta^n) = n \ln \beta$$ $$\ln\left[ \left( \prod_{i=1}^n x_i \right)^{-(\beta+1)} \right] = -(\beta+1) \ln\left( \prod_{i=1}^n x_i \right)$$ 而 $\ln\left( \prod_{i=1}^n x_i \right) = \sum_{i=1}^n \ln x_i$，因此： $$\ln L(\beta) = n \ln \beta - (\beta+1) \sum_{i=1}^n \ln x_i$$ 至此，完成了对似然函数取自然对数的操作，得到了便于后续求导的对数似然函数表达式。
公式：$$\ln L(\beta) = n \ln \beta - (\beta+1) \sum_{i=1}^n \ln x_i$$
提示：取对数时逐项展开，注意负号与括号的配合，避免符号错误。
步骤 6/7
目标：求导并令导数为零
在第5步中，我们已得到对数似然函数为： $$ \ln L(\beta) = n \ln \beta - \beta \sum_{i=1}^n \ln x_i + \sum_{i=1}^n \ln(\ln x_i) - \sum_{i=1}^n \ln x_i $$ 其中最后两项与参数$\beta$无关，在求导时视为常数。 现在对$\beta$求导。根据对数求导法则，有： $$ \frac{d}{d\beta} \ln L(\beta) = \frac{d}{d\beta} \left( n \ln \beta - \beta \sum_{i=1}^n \ln x_i \right) + 0 $$ 分别求导： - 第一项：$\frac{d}{d\beta} (n \ln \beta) = \frac{n}{\beta}$ - 第二项：$\frac{d}{d\beta} \left( -\beta \sum_{i=1}^n \ln x_i \right) = -\sum_{i=1}^n \ln x_i$ 因此，导数为： $$ \frac{d \ln L(\beta)}{d\beta} = \frac{n}{\beta} - \sum_{i=1}^n \ln x_i $$ 令导数为零，得到似然方程： $$ \frac{n}{\beta} - \sum_{i=1}^n \ln x_i = 0 $$ 整理得： $$ \frac{n}{\beta} = \sum_{i=1}^n \ln x_i $$ 即： $$ \beta = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln x_i} $$ 注意：这里$\sum_{i=1}^n \ln x_i$是样本观测值取自然对数后的和，由于$x_i > 1$，故$\ln x_i > 0$，分母为正，因此$\beta$的估计值为正，符合参数$\beta > 0$的约束。
公式：$$\frac{d \ln L(\beta)}{d\beta} = \frac{n}{\beta} - \sum_{i=1}^n \ln x_i = 0$$
提示：求导时注意只有含$\beta$的项才参与，常数项导数为零。
步骤 7/7
目标：解出最大似然估计量
由步骤6得到的似然方程： $$ \frac{n}{\beta} - \sum_{i=1}^{n} \ln x_i = 0 $$ 移项得： $$ \frac{n}{\beta} = \sum_{i=1}^{n} \ln x_i $$ 两边取倒数（注意 $\beta > 0$，且 $ \sum_{i=1}^{n} \ln x_i > 0$ 以保证估计量有意义）： $$ \hat{\beta} = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \ln x_i} $$ 此即参数 $\beta$ 的最大似然估计量。 **验证**：检查二阶导数是否小于0以确保是极大值。对似然函数 $\ln L(\beta) = n \ln \beta - (\beta+1)\sum_{i=1}^{n} \ln x_i$ 求二阶导： $$ \frac{d^2 \ln L}{d\beta^2} = -\frac{n}{\beta^2} < 0 $$ 故 $\hat{\beta}$ 确实使似然函数达到最大值。 **最终答案**： $$ \boxed{\hat{\beta} = \frac{n}{\sum\limits_{i=1}^{n} \ln x_i}} $$
公式：\hat{\beta} = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \ln x_i}
提示：注意分母是求和，且要求所有 $x_i>0$ 以保证对数有意义。

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