2025年考研数学三第14题

好的，我们先把题目抄下来，然后分步骤来解答。题目给了我们一个隐函数定义的方程：

\[ z + \ln z - \int_{y}^{x} x e^{-t^{2}} \, dt = 1 \]

这里 \(z=z(x,y)\)，我们需要计算在点 \((1,1)\) 处的二阶偏导 \(\left.\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}\right|_{(1,1)}\)。

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**第一步：确定初始的 \(z\) 值**

因为 \((x,y)=(1,1)\)，积分上下限相同，所以

\[ \int_{1}^{1} x e^{-t^{2}}\, dt = 0 \]

于是方程变成：

\[ z + \ln z = 1 \]

显然 \(z=1\) 满足 \(1+\ln 1 = 1\)，且容易验证这是唯一的解（函数单调）。于是

\[ z(1,1)=1 \]

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**第二步：方程两边对 \(x\) 求一阶偏导**

原方程：

\[ z + \ln z - \int_{y}^{x} x e^{-t^{2}} \, dt = 1 \]

注意积分部分上限是 \(x\)，且被积函数里也含有 \(x\)，所以对 \(x\) 求偏导时是含参变量积分求导。令

\[ I(x,y) = \int_{y}^{x} x e^{-t^{2}} dt \]

则有：

\[ \frac{\partial I}{\partial x} = \int_{y}^{x} e^{-t^{2}} dt \;+\; x \cdot e^{-x^{2}} \cdot 1 \]

因为上限求导贡献 \(x e^{-x^{2}}\)，而对参数 \(x\) 求导（积分号内因子 \(x\)）给出 \(\int_{y}^{x} e^{-t^{2}} dt\)。

因此，对原方程两边对 \(x\) 求偏导：

\[ \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{1}{z} \frac{\partial z}{\partial x} - \left( \int_{y}^{x} e^{-t^{2}} dt \;+\; x e^{-x^{2}} \right) = 0 \]

所以

\[ \frac{\partial z}{\partial x} \left(1 + \frac{1}{z}\right) = \int_{y}^{x} e^{-t^{2}} dt \;+\; x e^{-x^{2}} \]

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**第三步：在(1,1)处计算一阶偏导**

取 \(x=1,\ y=1,\ z=1\)，右边的积分 \(\int_{1}^{1}=0\)，且含 \(x e^{-x^2}\) 的项为 \(1\cdot e^{-1} = e^{-1}\)。

于是：

\[ \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,1)} \cdot (1+1) = e^{-1} \]

即

\[ 2\, z_x(1,1) = e^{-1} \quad\Rightarrow\quad z_x(1,1) = \frac{1}{2e} \]

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**第四步：再对 \(x\) 求一次偏导得到二阶**

我们有：

\[ \left(1+\frac{1}{z}\right) z_x = \int_{y}^{x} e^{-t^{2}} dt \;+\; x e^{-x^{2}} \]

两边再对 \(x\) 求偏导：

左边求导（用乘法法则及链式法则）：

\[ \frac{\partial}{\partial x}\left[\left(1+\frac{1}{z}\right) z_x\right] = \left(-\frac{1}{z^2} z_x\right) z_x \;+\; \left(1+\frac{1}{z}\right) z_{xx} \]

即

\[ -\frac{(z_x)^2}{z^2} + \left(1+\frac1z\right) z_{xx} \]

右边求导：

\[ \frac{d}{dx}\left(\int_{y}^{x} e^{-t^{2}} dt\right) + \frac{d}{dx}(x e^{-x^{2}}) \]

第一项是 \( e^{-x^{2}} \)，第二项是 \( e^{-x^{2}} -2x^2 e^{-x^{2}}\)，合起来是

\[ 2 e^{-x^{2}} - 2x^{2} e^{-x^{2}} = 2 e^{-x^{2}}(1 - x^2) \]

因此得到方程：

\[ -\frac{(z_x)^2}{z^2} + \left(1+\frac1z\right) z_{xx} = 2e^{-x^{2}}(1-x^2) \]

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**第五步：代入(1,1)计算**

已知 \(x=1,\ y=1,\ z=1,\ z_x=\frac{1}{2e}\)。

先看右边：\(x=1\) 时，\(1-x^2=0\)，所以右边为 \(0\)。

左边：

第一项： \(-\frac{(z_x)^2}{z^2} = -\left(\frac{1}{2e}\right)^2 = -\frac{1}{4e^2}\)

第二项系数： \(1+\frac1z = 2\)

于是方程为：

\[ -\frac{1}{4e^2} + 2\, z_{xx}(1,1) = 0 \]

所以

\[ 2 z_{xx} = \frac{1}{4e^2} \] \[ z_{xx}(1,1) = \frac{1}{8e^2} \]

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**最终答案：**

\[ \boxed{\frac{1}{8e^{2}}} \]

这样就完成了。