2025年考研数学三第22题

（本题满分 12 分） 投保人的损失事件发生时，保险公司的赔付额 $Y$ 与投保人的损失额 $X$ 的关系为 $$ Y=\left\{\begin{array}{l} 0, X \leq 100 X-100, X>100 \end{array}\right. $$
设损失事件发生时，投保人的损失额 $X$ 概率密度为
$$ f(x)= \begin{cases}\frac{2 \times 100^2}{(100+x)^3} & , x>0 \ 0, & x \leq 0\end{cases} $$
（1）求 $P\{Y>0\}$ 及 $E Y$ ； （2）这种损失事件在一年内发生的次数记为 $N$ ，保险公司在一年内就这种损失事件产生的理赔次数记为 $M$ ．假设 $N$ 服从参数为 8 的泊松分布，在 $N=n(n \geq 1)$ 的条件下，$M$ 服从二项分布 $B(n, p)$ ，其中 $p=P\{Y>0\}$ ，求 $M$ 的概率分布．