2025年考研数学三第5题
📝 题目
已知 $A$ 是 $m \times n$ 的矩阵，$\beta$ 是 $m$ 维非零向量。若 $A$ 有 $k$ 阶非零子式，则（ ）
A
当 $k=m$ 时 $A x=\beta$ 有解
B
当 $k=m$ 时 $A x=\beta$ 无解
C
当 $k\lt m$ 时 $A x=\beta$ 有解
D
当 $k\lt m$ 时 $A x=\beta$ 无解
💡 答案解析
## 【解析】
$r(A)$ 开k
若 $k=m$ ．则 $r(A)=m \quad r(A, B)=m$
故 $r(A)=r(A, \beta)=m$ ，则 $A x=\beta$ 有解
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：理解矩阵秩与线性方程组解的关系
首先回顾线性方程组解的存在性定理：对于非齐次线性方程组 $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$，其中 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$\boldsymbol{\beta}$ 是 $m$ 维列向量，方程组有解当且仅当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即 $\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A\mid\boldsymbol{\beta})$。
题目已知条件：矩阵 $A$ 有一个 $k$ 阶非零子式。根据矩阵秩的定义，矩阵的秩等于其最高阶非零子式的阶数，因此 $\operatorname{rank}(A)\ge k$。这意味着系数矩阵 $A$ 的秩至少为 $k$。
现在考虑线性方程组 $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 的解的情况。根据解的存在性定理，方程组有解需要 $\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A\mid\boldsymbol{\beta})$。由于 $\operatorname{rank}(A)\ge k$，增广矩阵 $(A\mid\boldsymbol{\beta})$ 的秩至少也是 $k$（因为增广矩阵包含 $A$ 的所有列）。但增广矩阵的秩可能等于 $\operatorname{rank}(A)$，也可能比 $\operatorname{rank}(A)$ 大1（当 $\boldsymbol{\beta}$ 不能由 $A$ 的列向量线性表示时）。
因此，仅由 $\operatorname{rank}(A)\ge k$ 这一条件，我们无法直接判断方程组是否有解。我们需要进一步的信息来确定 $\operatorname{rank}(A)$ 与 $\operatorname{rank}(A\mid\boldsymbol{\beta})$ 是否相等。
此外，如果方程组有解，则解的结构取决于 $\operatorname{rank}(A)$ 与未知数个数 $n$ 的关系：
- 当 $\operatorname{rank}(A)=n$ 时，方程组有唯一解；
- 当 $\operatorname{rank}(A)
公式：$$\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A\mid\boldsymbol{\beta}) \iff A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta} \text{ 有解}$$
提示：牢记秩相等是方程组有解的充要条件，非零子式只给出秩的下界。
步骤 2/2
目标：分析各选项条件与结论
已知 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$\beta$ 是 $m$ 维列向量，$k$ 是正整数。题目给出四个选项，需要判断哪个选项能保证线性方程组 $Ax = \beta$ 有解。
首先分析选项 A 和 B：当 $k = m$ 时，条件为“$A$ 有 $k$ 阶非零子式”，即 $A$ 有 $m$ 阶非零子式，这说明 $A$ 的秩至少为 $m$，即 $\operatorname{rank}(A) \ge m$。但 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，其秩不可能超过行数 $m$，因此 $\operatorname{rank}(A) \le m$。综合得 $\operatorname{rank}(A) = m$。此时增广矩阵 $(A \mid \beta)$ 的秩可能为 $m$ 或 $m+1$：若 $\beta$ 可由 $A$ 的列向量线性表示，则 $\operatorname{rank}(A \mid \beta) = m$，方程组有解；否则 $\operatorname{rank}(A \mid \beta) = m+1$，方程组无解。因此，当 $k=m$ 时，不能保证一定有解，故排除 A、B。
接着分析选项 C：当 $k < m$ 时，条件为“$A$ 有 $k$ 阶非零子式”，这只能推出 $\operatorname{rank}(A) \ge k$，但 $\operatorname{rank}(A)$ 可能小于 $m$，且无法确定 $\operatorname{rank}(A)$ 与 $\operatorname{rank}(A \mid \beta)$ 是否相等。例如，取 $m=3, n=2$，$A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$，$\beta = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$，则 $A$ 有 2 阶非零子式（取前两行），但方程组无解。因此，当 $k
公式：$$\operatorname{rank}(A) \le \operatorname{rank}(A \mid \beta) \le \operatorname{rank}(A) + 1$$
提示：注意秩与子式的关系：最高阶非零子式的阶数即为矩阵的秩。
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