2011年考研数学一第14题

题目给出二维正态分布 $(X,Y) \sim N(\mu, \mu; \sigma^2, \sigma^2; 0)$。根据二维正态分布的记号 $N(\mu_1, \mu_2; \sigma_1^2, \sigma_2^2; \rho)$，其中 $\mu_1$ 和 $\mu_2$ 分别为 $X$ 和 $Y$ 的均值，$\sigma_1^2$ 和 $\sigma_2^2$ 分别为 $X$ 和 $Y$ 的方差，$\rho$ 为 $X$ 与 $Y$ 的相关系数。 因此，由题设可得： - $X$ 的均值 $\mu_X = \mu$，$Y$ 的均值 $\mu_Y = \mu$； - $X$ 的方差 $\sigma_X^2 = \sigma^2$，$Y$ 的方差 $\sigma_Y^2 = \sigma^2$； - 相关系数 $\rho_{XY} = 0$。 由于相关系数为 $0$，且二维正态分布中不相关等价于独立，因此 $X$ 与 $Y$ 相互独立。这意味着联合概率密度函数可以分解为两个边缘概率密度函数的乘积： $$f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)$$ 其中 $$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$ 这一步的关键是准确提取分布参数，为后续计算 $P\{X+Y \leq 1\}$ 或 $P\{X-Y \leq 1\}$ 等概率奠定基础。注意，由于 $X$ 和 $Y$ 独立同分布，它们的和与差仍服从正态分布，且参数可由均值和方差线性组合得到。

已知二维随机变量 $(X,Y)$ 服从二维正态分布 $N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)$。对于二维正态分布，有一个非常重要的性质：$X$ 与 $Y$ 相互独立当且仅当它们的相关系数 $\rho = 0$。 因此，判断 $X$ 与 $Y$ 是否相互独立，只需检查题目中给出的相关系数 $\rho$ 是否为零。若题目未直接给出 $\rho$，则需要根据已知条件（如协方差、方差等）计算相关系数： $$ \rho = \frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}. $$ 在本步骤中，我们假设已经从前一步得到了相关系数的值（或通过计算得到 $\rho = 0$），则可以直接得出结论：$X$ 与 $Y$ 相互独立。 注意：该性质仅对二维正态分布成立。对于其他分布，相关系数为零不一定推出独立。

由于随机变量$X$与$Y$相互独立，根据独立随机变量的期望性质，对于任意可测函数$g$和$h$，有$E[g(X)h(Y)] = E[g(X)] \cdot E[h(Y)]$。本题中需要计算$E(XY^2)$，令$g(X)=X$，$h(Y)=Y^2$，则$X$与$Y^2$也相互独立（因为$Y^2$是$Y$的函数，独立随机变量的函数仍然独立）。因此，期望可以拆分为： $$ E(XY^2) = E(X) \cdot E(Y^2). $$ 接下来分别计算$E(X)$和$E(Y^2)$。由题目已知条件，$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，故$E(X)=\lambda$。$Y$服从参数为$\mu$的泊松分布，其方差$D(Y)=\mu$，且$E(Y)=\mu$，利用方差公式$D(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2$，可得$E(Y^2)=D(Y)+[E(Y)]^2 = \mu + \mu^2$。因此， $$ E(XY^2) = \lambda \cdot (\mu + \mu^2) = \lambda\mu(1+\mu). $$ 此步骤完成了期望的拆分与初步计算，为后续步骤中计算协方差或相关系数做好准备。

本步骤的目标是计算随机变量 $Y$ 的二阶原点矩 $E(Y^2)$。已知在前面的步骤中，我们已经得到了 $Y$ 的期望 $E(Y) = \mu$ 和方差 $D(Y) = \sigma^2$。根据方差与期望之间的关系，方差定义为 $D(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2$。因此，我们可以通过移项得到 $E(Y^2) = D(Y) + [E(Y)]^2$。将已知的 $D(Y) = \sigma^2$ 和 $E(Y) = \mu$ 代入，即得： $$ E(Y^2) = \sigma^2 + \mu^2. $$ 这个结果直接给出了 $Y$ 的二阶矩，它等于方差与期望的平方之和。注意，这里 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 分别是 $Y$ 的总体均值和总体方差，具体数值取决于 $Y$ 的分布。在后续步骤中，我们将利用这个结果进一步计算所需的统计量。

本步骤的目标是将前几步得到的期望值代入表达式，计算出 $E(XY^2)$ 的具体结果。 已知随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$Y \sim N(\mu, \sigma^2)$。 由独立性，有 $E(XY^2) = E(X) \cdot E(Y^2)$。 首先，$E(X) = \mu$。 其次，计算 $E(Y^2)$。由于 $Y \sim N(\mu, \sigma^2)$，方差公式为 $D(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2$，即 $\sigma^2 = E(Y^2) - \mu^2$，因此 $E(Y^2) = \sigma^2 + \mu^2$。 将两者相乘： $$ E(XY^2) = \mu \cdot (\sigma^2 + \mu^2) = \mu\sigma^2 + \mu^3. $$ 因此，最终结果为 $\mu\sigma^2 + \mu^3$。 验证：当 $\mu = 0$ 时，$E(XY^2) = 0$，符合对称性；当 $\sigma = 0$ 时，$X$ 与 $Y$ 退化为常数 $\mu$，则 $E(XY^2) = \mu^3$，与公式一致。