2011年考研数学一第16题

已知函数 $g(x)$ 在 $x=1$ 处取得极值，且 $g(x)$ 在 $x=1$ 处可导。根据极值的必要条件（费马引理），若函数在某点可导且取得极值，则该点处的导数为零。因此，有 $g'(1)=0$。同时，题目直接给出了 $g(1)=1$。这两个条件将作为后续步骤中求解未知参数或进行函数分析的基础。

已知函数 $z = f(u, v)$，其中 $u = xy$，$v = y g(x)$。根据链式法则，$z$ 对 $x$ 的偏导数等于 $z$ 对中间变量 $u$ 和 $v$ 的偏导数分别乘以中间变量对 $x$ 的偏导数之和，即： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}. $$ 首先计算 $\frac{\partial u}{\partial x}$：由于 $u = xy$，将 $y$ 视为常数（因为是对 $x$ 求偏导），得 $\frac{\partial u}{\partial x} = y$。 其次计算 $\frac{\partial v}{\partial x}$：由于 $v = y g(x)$，$y$ 视为常数，$g(x)$ 是 $x$ 的函数，故 $\frac{\partial v}{\partial x} = y \cdot g'(x)$。 将上述结果代入链式法则： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = f_u' \cdot y + f_v' \cdot (y g'(x)) = y f_u' + y f_v' g'(x). $$ 其中 $f_u'$ 表示 $f$ 对第一个中间变量 $u$ 的偏导数，$f_v'$ 表示 $f$ 对第二个中间变量 $v$ 的偏导数。注意，$f_u'$ 和 $f_v'$ 仍然是 $u$ 和 $v$ 的函数，而 $u$ 和 $v$ 又依赖于 $x$ 和 $y$，因此最终表达式是 $x$ 和 $y$ 的函数。 至此，我们得到了 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 的表达式，该结果将用于后续步骤中求解二阶偏导。

已知函数 $z = f(u, v)$，其中 $u = xy$，$v = \frac{x}{y}$。第一步已求得一阶偏导： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = y f_u' + \frac{1}{y} f_v'. $$ 现在对 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 关于 $y$ 求偏导，注意 $f_u'$ 和 $f_v'$ 仍是 $u, v$ 的函数，而 $u, v$ 又依赖于 $x, y$，因此需要使用链式法则。 将 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 视为 $y$ 的函数，由乘积法则和链式法则： $$ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( y f_u' \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{1}{y} f_v' \right). $$ 先计算第一项： $$ \frac{\partial}{\partial y} (y f_u') = f_u' + y \cdot \frac{\partial f_u'}{\partial y}. $$ 而 $\frac{\partial f_u'}{\partial y} = f_{uu}'' \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + f_{uv}'' \cdot \frac{\partial v}{\partial y}$，其中 $\frac{\partial u}{\partial y} = x$，$\frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{x}{y^2}$，所以 $$ \frac{\partial f_u'}{\partial y} = x f_{uu}'' - \frac{x}{y^2} f_{uv}''. $$ 因此第一项为： $$ f_u' + y \left( x f_{uu}'' - \frac{x}{y^2} f_{uv}'' \right) = f_u' + xy f_{uu}'' - \frac{x}{y} f_{uv}''. $$ 再计算第二项： $$ \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{1}{y} f_v' \right) = -\frac{1}{y^2} f_v' + \frac{1}{y} \cdot \frac{\partial f_v'}{\partial y}. $$ 而 $\frac{\partial f_v'}{\partial y} = f_{vu}'' \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + f_{vv}'' \cdot \frac{\partial v}{\partial y} = x f_{vu}'' - \frac{x}{y^2} f_{vv}''$，所以第二项为： $$ -\frac{1}{y^2} f_v' + \frac{1}{y} \left( x f_{vu}'' - \frac{x}{y^2} f_{vv}'' \right) = -\frac{1}{y^2} f_v' + \frac{x}{y} f_{vu}'' - \frac{x}{y^3} f_{vv}''. $$ 将两项相加，并假设 $f$ 的二阶偏导连续，则 $f_{uv}'' = f_{vu}''$，合并同类项得： $$ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = f_u' - \frac{1}{y^2} f_v' + xy f_{uu}'' + \frac{x}{y} (f_{vu}'' - f_{uv}'') - \frac{x}{y^3} f_{vv}'' = f_u' - \frac{1}{y^2} f_v' + xy f_{uu}'' - \frac{x}{y^3} f_{vv}''. $$ 因此，二阶混合偏导的表达式为： $$ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = f_u' - \frac{1}{y^2} f_v' + xy f_{uu}'' - \frac{x}{y^3} f_{vv}''. $$

已知在步骤3中已得到二阶混合偏导表达式： $$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = f_{11}''(x, g(x)) + f_{12}''(x, g(x)) g'(x) + f_1'(x, g(x)) g''(x) + f_{21}''(x, g(x)) g'(x) + f_{22}''(x, g(x)) [g'(x)]^2 + f_2'(x, g(x)) g''(x).$$ 现在代入已知条件：$x=1$, $y=1$, $g(1)=1$, $g'(1)=0$。注意，$g''(1)$的值未知，但后续项会消去。代入后得到： $$\left.\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\right|_{(1,1)} = f_{11}''(1,1) + f_{12}''(1,1) \cdot 0 + f_1'(1,1) g''(1) + f_{21}''(1,1) \cdot 0 + f_{22}''(1,1) \cdot 0^2 + f_2'(1,1) g''(1).$$ 化简后为： $$\left.\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\right|_{(1,1)} = f_{11}''(1,1) + f_1'(1,1) g''(1) + f_2'(1,1) g''(1).$$ 由于$f(x,y)$满足$f(x, g(x)) = x$，两边对$x$求导得：$f_1'(x, g(x)) + f_2'(x, g(x)) g'(x) = 1$。代入$x=1$, $g(1)=1$, $g'(1)=0$得：$f_1'(1,1) = 1$。 再对$x$求二阶导：$f_{11}''(x, g(x)) + f_{12}''(x, g(x)) g'(x) + [f_{21}''(x, g(x)) + f_{22}''(x, g(x)) g'(x)] g'(x) + f_2'(x, g(x)) g''(x) = 0$。代入$x=1$, $g(1)=1$, $g'(1)=0$得：$f_{11}''(1,1) + f_2'(1,1) g''(1) = 0$，即$f_2'(1,1) g''(1) = -f_{11}''(1,1)$。 将$f_1'(1,1)=1$和$f_2'(1,1) g''(1) = -f_{11}''(1,1)$代入化简后的表达式： $$\left.\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\right|_{(1,1)} = f_{11}''(1,1) + 1 \cdot g''(1) + (-f_{11}''(1,1)) = g''(1).$$ 但题目要求的结果是$f_1'(1,1)+f_{11}''(1,1)+f_{12}''(1,1)$，注意此处$f_{12}''(1,1)$项在代入$g'(1)=0$后已消失，实际上最终结果应为$g''(1)$。然而根据步骤目标，我们需将表达式化简为$f_1'(1,1)+f_{11}''(1,1)+f_{12}''(1,1)$的形式，这暗示了原表达式在代入后应保留$f_{12}''$项，但实际代入$g'(1)=0$后该项为零。因此，步骤目标中的表达式可能来源于另一种推导路径，但根据当前代入化简，最终结果为$g''(1)$。验证：由$f(x,g(x))=x$可求得$g''(1)$的具体数值，但题目未给出，故最终答案以$g''(1)$表示。