目标：对y进行分部积分
首先将原积分 $I = \iint_D x \frac{\partial f}{\partial y} \, dxdy$ 写成先对 $y$ 后对 $x$ 的累次积分形式。由题意，积分区域 $D$ 为 $0 \le x \le 1$，$0 \le y \le 1$，且 $f(x,1)=0$，$f(0,y)=0$。因此有
$$
I = \int_0^1 \int_0^1 x \frac{\partial f}{\partial y} \, dy \, dx.
$$
对内层关于 $y$ 的积分，令 $g_x(y) = \frac{\partial f}{\partial x}$，但此处我们直接对 $y$ 使用分部积分。设 $u = x$（关于 $y$ 为常数），$dv = \frac{\partial f}{\partial y} \, dy$，则 $du = 0$，$v = f(x,y)$。分部积分公式为
$$
\int_0^1 u \, dv = uv\big|_0^1 - \int_0^1 v \, du.
$$
代入得
$$
\int_0^1 x \frac{\partial f}{\partial y} \, dy = x \cdot f(x,y) \Big|_{y=0}^{y=1} - \int_0^1 f(x,y) \cdot 0 \, dy = x \big[ f(x,1) - f(x,0) \big].
$$
利用已知条件 $f(x,1)=0$，上式化为
$$
\int_0^1 x \frac{\partial f}{\partial y} \, dy = -x f(x,0).
$$
于是原积分变为
$$
I = \int_0^1 \left( -x f(x,0) \right) dx = -\int_0^1 x f(x,0) \, dx.
$$
注意到 $f(x,0)$ 是 $x$ 的一元函数，且由 $f(0,y)=0$ 知 $f(0,0)=0$。为了将结果与步骤目标中的形式 $I = -\iint x \frac{\partial f}{\partial x} \, dy \, dx$ 联系起来，我们利用 $f(x,0) = \int_0^1 \frac{\partial f}{\partial y} \, dy$ 或更直接地，考虑对 $x$ 的导数。实际上，由 $f(x,1)=0$ 和 $f(0,y)=0$，我们可以通过另一种分部积分得到所需形式，但本步骤仅完成对 $y$ 的分部积分，得到中间结果 $I = -\int_0^1 x f(x,0) \, dx$。后续步骤将利用 $f(x,0)$ 与 $\partial f/\partial x$ 的关系进一步转化。
公式：$$\int_0^1 x \frac{\partial f}{\partial y} \, dy = x f(x,y)\big|_0^1 - \int_0^1 f(x,y) \cdot 0 \, dy = -x f(x,0)$$
提示：分部积分时，将 $x$ 视为常数，$\partial f/\partial y$ 的积分原函数就是 $f$ 本身。
目标：交换积分次序并对x分部积分
首先，原积分 $I = \int_0^1 dy \int_0^y \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) \, dx$ 的积分区域由 $0 \le y \le 1$ 和 $0 \le x \le y$ 描述，即区域为三角形：$0 \le x \le 1$，$x \le y \le 1$。交换积分次序，先对 $y$ 后对 $x$，得到：
$$I = \int_0^1 dx \int_x^1 \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) \, dy.$$
现在对内层关于 $x$ 的积分（注意此时外层积分变量为 $x$，内层积分变量为 $y$，但被积函数是 $\partial f/\partial x$，我们需要对 $x$ 进行分部积分。实际上，交换次序后的表达式为 $I = \int_0^1 \left( \int_x^1 \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) \, dy \right) dx$。为了对 $x$ 分部积分，我们令 $u = \int_x^1 f(x,y) \, dy$？不，更直接的做法是：将 $I$ 视为 $\int_0^1 \left( \int_x^1 \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) \, dy \right) dx$，对固定的 $x$，内层积分是关于 $y$ 的，但我们需要处理 $\partial f/\partial x$。实际上，我们可以交换积分次序后直接对 $x$ 分部积分：
$$I = \int_0^1 \left( \int_x^1 \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) \, dy \right) dx.$$
令 $u = \int_x^1 f(x,y) \, dy$，$dv = \frac{\partial f}{\partial x} dx$？这并不直接。更标准的方法是：将 $I$ 写成二重积分 $\iint_D \frac{\partial f}{\partial x} \, dxdy$，其中 $D = \{ (x,y) \mid 0 \le x \le 1, \, x \le y \le 1 \}$。然后对 $x$ 分部积分：
$$\iint_D \frac{\partial f}{\partial x} \, dxdy = \int_0^1 dy \int_0^y \frac{\partial f}{\partial x} \, dx = \int_0^1 \left[ f(x,y) \big|_{x=0}^{x=y} \right] dy - \int_0^1 dy \int_0^y f(x,y) \cdot 0 \, dx?$$
实际上，分部积分公式：$\int_a^b u \, dv = uv\big|_a^b - \int_a^b v \, du$。这里对 $x$ 积分，令 $u = 1$，$dv = \frac{\partial f}{\partial x} dx$，则 $du = 0$，$v = f(x,y)$，所以 $\int_0^y \frac{\partial f}{\partial x} \, dx = f(y,y) - f(0,y)$。但题目要求交换次序后对 $x$ 分部积分，我们采用另一种视角：
交换次序后的积分 $I = \int_0^1 dx \int_x^1 \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) \, dy$。对内层关于 $y$ 的积分，$\frac{\partial f}{\partial x}$ 视为 $x$ 的函数，但 $y$ 是积分变量，所以不能直接对 $x$ 分部积分。正确做法是：将 $I$ 写成 $\int_0^1 \left( \int_x^1 \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) \, dy \right) dx$，然后对 $x$ 分部积分时，把 $\int_x^1 \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) \, dy$ 看作一个整体函数 $g(x)$，则 $I = \int_0^1 g(x) \, dx$。但 $g(x)$ 本身含有对 $x$ 的导数，这并不直接。
更简洁的方法是：直接对原二重积分 $\iint_D \frac{\partial f}{\partial x} \, dxdy$ 使用分部积分公式（Green公式或一维分部积分在二重积分中的推广）：
$$\iint_D \frac{\partial f}{\partial x} \, dxdy = \int_{\partial D} f \, \nu_x \, ds - \iint_D f \cdot 0 \, dxdy = \int_{\partial D} f \, \nu_x \, ds,$$
其中 $\nu_x$ 是边界外法向量的 $x$ 分量。但题目要求用分部积分法，我们按步骤进行：
交换次序后，$I = \int_0^1 dx \int_x^1 \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) \, dy$。对固定的 $y$，内层积分是 $\int_x^1 \frac{\partial f}{\partial x} \, dy$，但 $x$ 是外层变量，我们实际上需要处理 $\int_0^1 \left( \int_x^1 \frac{\partial f}{\partial x} \, dy \right) dx$。交换积分次序后，我们也可以先对 $y$ 积分再对 $x$ 分部积分，但这里我们采用标准方法：
将 $I$ 写作 $\int_0^1 dy \int_0^y \frac{\partial f}{\partial x} \, dx$，然后对 $x$ 分部积分：
令 $u = 1$，$dv = \frac{\partial f}{\partial x} dx$，则 $\int_0^y \frac{\partial f}{\partial x} \, dx = f(y,y) - f(0,y)$。于是
$$I = \int_0^1 \left[ f(y,y) - f(0,y) \right] dy.$$
但题目要求交换次序后对 $x$ 分部积分，我们需按步骤目标：交换次序后，$I = \int_0^1 dx \int_x^1 \frac{\partial f}{\partial x} \, dy$。现在对 $x$ 分部积分：将 $\int_x^1 \frac{\partial f}{\partial x} \, dy$ 视为 $x$ 的函数，但分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ 中，$u$ 和 $v$ 是 $x$ 的函数。我们令 $u = \int_x^1 f(x,y) \, dy$，$dv = \frac{\partial f}{\partial x} dx$？这会导致 $v = f(x,y)$ 依赖于 $y$，不适用。
正确做法：将 $I$ 写成 $\int_0^1 dx \int_x^1 \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) \, dy = \int_0^1 \left( \int_x^1 \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) \, dy \right) dx$。对固定的 $y$，内层积分是 $\int_x^1 \frac{\partial f}{\partial x} \, dy$，但 $x$ 是外层变量，我们实际上可以交换积分次序后再对 $x$ 分部积分，但这里我们直接对 $x$ 分部积分：
考虑 $I = \int_0^1 \left( \int_x^1 \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) \, dy \right) dx$。交换积分次序（先 $y$ 后 $x$）后，我们得到 $I = \int_0^1 dy \int_0^y \frac{\partial f}{\partial x} \, dx$，然后对 $x$ 分部积分得到 $I = \int_0^1 [f(y,y) - f(0,y)] dy$。但题目要求交换次序后对 $x$ 分部积分，即先交换次序再分部积分，所以最终结果应为 $I = \int_0^1 \int_0^y \frac{\partial f}{\partial x} \, dx dy = \int_0^1 [f(y,y) - f(0,y)] dy$。利用条件 $f(1,y)=0$，但这里没有出现 $f(1,y)$，所以需要进一步处理。实际上，我们也可以从交换次序后的形式 $\int_0^1 dx \int_x^1 \frac{\partial f}{\partial x} \, dy$ 出发，对 $x$ 分部积分：
令 $u = \int_x^1 f(x,y) \, dy$，$dv = \frac{\partial f}{\partial x} dx$，则 $du = \left( \frac{d}{dx} \int_x^1 f(x,y) \, dy \right) dx = \left( -f(x,x) + \int_x^1 \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) \, dy \right) dx$，$v = f(x,y)$？这不一致。
因此，最清晰的做法是：交换次序后，$I = \int_0^1 dy \int_0^y \frac{\partial f}{\partial x} \, dx$，然后对 $x$ 分部积分：
$$\int_0^y \frac{\partial f}{\partial x} \, dx = f(x,y) \big|_{x=0}^{x=y} = f(y,y) - f(0,y).$$
所以 $I = \int_0^1 [f(y,y) - f(0,y)] \, dy$。再利用 $f(1,y)=0$ 条件，但此处尚未用到。最终，$I = \int_0^1 f(y,y) \, dy - \int_0^1 f(0,y) \, dy$。
公式：I = \int_0^1 dy \int_0^y \frac{\partial f}{\partial x} \, dx = \int_0^1 \left[ f(y,y) - f(0,y) \right] dy
提示：交换次序后，内层积分对x用分部积分，注意利用f(1,y)=0消去边界项。