💡 答案解析
（I）由 $r(\boldsymbol{A})=2<3$ ，得 $|\boldsymbol{A}|=0$ ，于是 $\lambda_{1}=0$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征值．
又由已知条件，得 $\boldsymbol{A}\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right), \boldsymbol{A}\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ ，根据特征值与特征向量的定义得 $\lambda_{2}=-1$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，其对应的特征向量为 $\boldsymbol{\xi}_{2}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right)$ ；
$\lambda_{3}=1$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，其对应的特征向量为 $\boldsymbol{\xi}_{3}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ ．
令 $\boldsymbol{\xi}_{1}=\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)$ 为 $\lambda_{1}=0$ 对应的一个特征向量，由实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交得 $\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{\xi}_{1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\xi}_{2}=0, \\ \boldsymbol{\xi}_{1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\xi}_{3}=0,\end{array}\right.$ 即 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}-x_{3}=0, \\ x_{1}+x_{3}=0,\end{array}\right.$ 基础解系为 $\boldsymbol{\xi}_{1}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$ ，即 $\boldsymbol{\xi}_{1}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$ 为 $\lambda_{1}=0$ 对应的一个特征向量。故 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\lambda_{1}=0, \lambda_{2}=-1, \lambda_{3}=1$ ，其对应的所有特征向量为 $C_{1} \boldsymbol{\xi}_{1}$ ， $C_{2} \boldsymbol{\xi}_{2}, C_{3} \boldsymbol{\xi}_{3}\left(C_{1}, C_{2}, C_{3}\right.$ 为不为零的任意常数）。
（II）方法一 令 $\boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{\xi}_{1}, \boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{3}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right)$ ，由 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，得
$$
\boldsymbol{A}=\boldsymbol{P}\left(\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) \boldsymbol{P}^{-1}=\left(\begin{array}{lll}
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{array}\right)
$$
方法二 由 $\boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{\xi}_{1}, \boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{3}\right)=\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}_{1}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}_{3}\right)=\left(\mathbf{0},-\boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{3}\right)$ ，得
$$
\boldsymbol{A}=\left(\mathbf{0},-\boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{3}\right)\left(\boldsymbol{\xi}_{1}, \boldsymbol{\xi}_{2}, \boldsymbol{\xi}_{3}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}
0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 1
\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{lll}
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{array}\right) .
$$
方法点评：本题注重考查特征值与特征向量的定义，很多考生忽视了定义而不知道本题所给已知条件如何解读．事实上求特征值常用方法有：
（1）公式法，即由 $|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=0$ 求出特征值；
（2）定义法，即令 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\lambda \boldsymbol{X}$ ，根据矩阵的关系式，求出矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值；
（3）关联矩阵法，即找矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$ ，即 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$ ，从而 $|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}|$ ，于是求出 $\boldsymbol{A}$ 的特征值．
求特征向量常用方法有：
（1）设 $\lambda_{0}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，则属于 $\lambda_{0}$ 的特征向量为 $\left(\lambda_{0} \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}\right) \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 的非零解；。
（2）定义法，满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\lambda_{0} \boldsymbol{X}$ 的非零 $\boldsymbol{X}$ 即为 $\lambda_{0}$ 对应的特征向量；
（3）利用矩阵关系求特征向量，如 $\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{\alpha}=\lambda_{0} \boldsymbol{\alpha}$ ，则 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的属于特征值 $\displaystyle\frac{1}{\lambda_{0}}$ 的特征向量．
📋 详细解题步骤
目标：提取已知条件中的向量关系
已知矩阵方程 $A\begin{pmatrix}1 & 1\\0 & 0\\-1 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 1\\0 & 0\\1 & 1\end{pmatrix}$。将左边的矩阵按列分块，记 $\alpha_1=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$，$\alpha_2=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$；右边的矩阵按列分块，记 $\beta_1=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}$，$\beta_2=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$。则原矩阵方程等价于两个列向量等式：
$$A\alpha_1=\beta_1,\quad A\alpha_2=\beta_2.$$
即
$$A\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix},\qquad A\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}.$$
这两个等式给出了矩阵 $A$ 对两个已知向量的作用结果，是后续求解 $A$ 或 $A$ 的特征值、特征向量等问题的直接依据。注意 $\alpha_1$ 与 $\alpha_2$ 线性无关，它们张成 $\mathbb{R}^3$ 中的一个二维子空间。
公式：A\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix},\quad A\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}
提示：将矩阵方程按列分块，每个列对应一个向量等式，注意对应位置。
目标：识别特征向量与特征值
已知题目条件中给出了向量关系：$\beta_1 = -\alpha_1$，$\beta_2 = \alpha_2$，且$\beta_1 = A\alpha_1$，$\beta_2 = A\alpha_2$。
首先，由$\beta_2 = \alpha_2$以及$\beta_2 = A\alpha_2$，可得
$$A\alpha_2 = \alpha_2.$$
这表明$\alpha_2$是矩阵$A$的一个特征向量，对应的特征值为$1$。
其次，由$\beta_1 = -\alpha_1$以及$\beta_1 = A\alpha_1$，可得
$$A\alpha_1 = -\alpha_1.$$
这表明$\alpha_1$是矩阵$A$的一个特征向量，对应的特征值为$-1$。
至此，我们识别出了两个特征向量及其对应的特征值：特征向量$\alpha_1$对应特征值$-1$，特征向量$\alpha_2$对应特征值$1$。
公式：A\alpha_1 = -\alpha_1,\quad A\alpha_2 = \alpha_2
提示：直接利用已知的$\beta$与$\alpha$关系代入$A\alpha=\beta$即可得到特征方程。
目标：确定第三个特征值
已知矩阵 $A$ 是 $3$ 阶实对称矩阵，且秩为 $2$。对于实对称矩阵，其秩等于非零特征值的个数（计入代数重数）。由于秩为 $2$，说明 $A$ 有 $2$ 个非零特征值，而第三个特征值必为 $0$。
设 $A$ 的三个特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$，其中 $\lambda_1, \lambda_2$ 为已知的非零特征值（由前两步已求得），则 $\lambda_3 = 0$。
此外，由于 $A$ 是实对称矩阵，它可对角化，且每个特征值的几何重数等于代数重数。特征值 $0$ 的代数重数为 $1$，因此其几何重数也为 $1$，即齐次线性方程组 $(0E - A)x = -Ax = 0$ 的解空间维数为 $1$，这与 $\mathrm{rank}(A)=2$ 一致（因为 $3-\mathrm{rank}(A)=1$）。
因此，第三个特征值为 $\lambda_3 = 0$。
公式：$$\lambda_3 = 0$$
提示：利用秩与特征值的关系：秩=非零特征值个数，直接得出第三个特征值为0。
目标：求特征值0的特征向量
已知矩阵$A$为实对称矩阵，且已求得特征值$\lambda_1=2$对应的特征向量$\alpha_1=(1,0,-1)^T$，特征值$\lambda_2=1$对应的特征向量$\alpha_2=(1,0,1)^T$。由于实对称矩阵不同特征值对应的特征向量必正交，因此特征值$\lambda_3=0$对应的特征向量$\xi=(x_1,x_2,x_3)^T$必须与$\alpha_1$和$\alpha_2$均正交。即满足：
$$\begin{cases} \alpha_1 \cdot \xi = 0 \\ \alpha_2 \cdot \xi = 0 \end{cases}$$
代入具体向量得：
$$\begin{cases} 1\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + (-1)\cdot x_3 = 0 \\ 1\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + 1\cdot x_3 = 0 \end{cases}$$
化简为：
$$\begin{cases} x_1 - x_3 = 0 \\ x_1 + x_3 = 0 \end{cases}$$
将两式相加得$2x_1=0$，即$x_1=0$；代入任一方程得$x_3=0$。$x_2$为自由变量，取$x_2=1$（非零即可），得到特征向量：
$$\xi = (0,1,0)^T$$
因此，特征值$0$对应的一个特征向量为$(0,1,0)^T$。
公式：$$\begin{cases} x_1 - x_3 = 0 \\ x_1 + x_3 = 0 \end{cases} \Rightarrow x_1=0,\,x_3=0,\,x_2=1 \Rightarrow \xi=(0,1,0)^T$$
提示：利用正交性列方程组时，注意系数矩阵的秩为2，解空间维数为1。
目标：写出所有特征值与特征向量
根据前几步求得的特征值，矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda_1 = -1$，$\lambda_2 = 1$，$\lambda_3 = 0$。下面分别求出每个特征值对应的特征向量。
对于特征值 $\lambda = -1$，解齐次线性方程组 $(A + I)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$。设 $\boldsymbol{x} = (x_1, x_2, x_3)^T$，代入矩阵 $A$ 得：
$$
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}.
$$
由此得到方程组：
$$
\begin{cases}
x_3 = 0, \\
0 = 0, \\
x_1 = 0.
\end{cases}
$$
解得 $x_1 = 0$，$x_3 = 0$，$x_2$ 为自由变量。因此基础解系为 $(0,1,0)^T$，所有特征向量为 $k(0,1,0)^T$，其中 $k \neq 0$。
对于特征值 $\lambda = 1$，解方程组 $(A - I)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$：
$$
\begin{pmatrix}
-2 & 0 & 1 \\
0 & -2 & 0 \\
1 & 0 & -2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}.
$$
得方程组：
$$
\begin{cases}
-2x_1 + x_3 = 0, \\
-2x_2 = 0, \\
x_1 - 2x_3 = 0.
\end{cases}
$$
由第二式得 $x_2 = 0$；由第一式和第三式联立解得 $x_1 = x_3 = 0$，矛盾？实际上第一式与第三式相加得 $-x_1 - x_3 = 0$，即 $x_1 = -x_3$，代入第一式得 $-2x_1 + x_3 = -2x_1 - x_1 = -3x_1 = 0$，故 $x_1 = 0$，从而 $x_3 = 0$。因此只有零解，说明 $\lambda = 1$ 不是特征值？检查原题：矩阵 $A$ 的特征多项式应为 $(\lambda+1)(\lambda-1)\lambda$，故 $\lambda=1$ 是特征值。重新计算：
$$
A - I = \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 1 \\
0 & -1 & 0 \\
1 & 0 & -1
\end{pmatrix}.
$$
方程组为：
$$
\begin{cases}
-x_1 + x_3 = 0, \\
-x_2 = 0, \\
x_1 - x_3 = 0.
\end{cases}
$$
解得 $x_2 = 0$，$x_1 = x_3$，自由变量为 $x_1$，基础解系为 $(1,0,1)^T$，特征向量为 $k(1,0,1)^T$，$k \neq 0$。
对于特征值 $\lambda = 0$，解方程组 $A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$：
$$
\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 1 \\
0 & -1 & 0 \\
1 & 0 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}.
$$
得：
$$
\begin{cases}
-x_1 + x_3 = 0, \\
-x_2 = 0, \\
x_1 - x_3 = 0.
\end{cases}
$$
解得 $x_2 = 0$，$x_1 = x_3$，基础解系为 $(1,0,1)^T$？注意这与 $\lambda=1$ 的基础解系相同？实际上 $\lambda=0$ 时矩阵 $A$ 的秩为2，零空间维数为1，但基础解系应为 $(1,0,1)^T$ 吗？检查：$A(1,0,1)^T = (-1+1, 0, 1-1)^T = (0,0,0)^T$，正确。但 $\lambda=1$ 时 $(A-I)(1,0,1)^T = (-1+1, 0, 1-1)^T = (0,0,0)^T$，也成立，说明 $(1,0,1)^T$ 同时是 $\lambda=0$ 和 $\lambda=1$ 的特征向量？这不可能，因为不同特征值对应的特征向量线性无关，但这里出现重复。重新检查矩阵 $A$：
$$A = \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 1 \\
0 & -1 & 0 \\
1 & 0 & -1
\end{pmatrix}.$$
特征多项式：$\det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix}
\lambda+1 & 0 & -1 \\
0 & \lambda+1 & 0 \\
-1 & 0 & \lambda+1
\end{vmatrix} = (\lambda+1)\begin{vmatrix}
\lambda+1 & 0 \\
0 & \lambda+1
\end{vmatrix} - (-1)\begin{vmatrix}
0 & \lambda+1 \\
-1 & 0
\end{vmatrix} = (\lambda+1)^3 - (\lambda+1) = (\lambda+1)[(\lambda+1)^2 - 1] = (\lambda+1)(\lambda^2+2\lambda) = \lambda(\lambda+1)(\lambda+2)$。所以特征值为 $0, -1, -2$，而不是 $0,1,-1$。因此题目中特征值应为 $\lambda_1 = -1$，$\lambda_2 = 0$，$\lambda_3 = -2$。
重新计算：
对于 $\lambda = -1$：解 $(A+I)\boldsymbol{x}=0$，$A+I = \begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}$，得 $x_1=0, x_3=0$，$x_2$ 自由，基础解系 $(0,1,0)^T$，特征向量 $k(0,1,0)^T$，$k\neq0$。
对于 $\lambda = 0$：解 $A\boldsymbol{x}=0$，$A = \begin{pmatrix}-1&0&1\\0&-1&0\\1&0&-1\end{pmatrix}$，得 $x_2=0$，$x_1=x_3$，基础解系 $(1,0,1)^T$，特征向量 $k(1,0,1)^T$，$k\neq0$。
对于 $\lambda = -2$：解 $(A+2I)\boldsymbol{x}=0$，$A+2I = \begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}$，得 $x_2=0$，$x_1+x_3=0$，即 $x_3=-x_1$，基础解系 $(1,0,-1)^T$，特征向量 $k(1,0,-1)^T$，$k\neq0$。
因此所有特征值与特征向量为：
- 特征值 $\lambda = -1$：全体 $k(0,1,0)^T$，$k \neq 0$；
- 特征值 $\lambda = 0$：全体 $k(1,0,1)^T$，$k \neq 0$；
- 特征值 $\lambda = -2$：全体 $k(1,0,-1)^T$，$k \neq 0$。
公式：\begin{aligned} &\lambda_1=-1,\ \boldsymbol{\xi}_1=k(0,1,0)^T\ (k\neq0);\\ &\lambda_2=0,\ \boldsymbol{\xi}_2=k(1,0,1)^T\ (k\neq0);\\ &\lambda_3=-2,\ \boldsymbol{\xi}_3=k(1,0,-1)^T\ (k\neq0). \end{aligned}
提示：注意验证特征向量是否满足 $A\boldsymbol{\xi}=\lambda\boldsymbol{\xi}$，可快速检查计算正确性。
目标：单位化特征向量构造正交矩阵
前一步已得到三个相互正交的特征向量：$\alpha_1=(1,0,-1)^\mathrm{T}$，$\alpha_2=(1,0,1)^\mathrm{T}$，$\alpha_3=(0,1,0)^\mathrm{T}$。现需将它们单位化，构造正交矩阵 $Q$。
首先计算各向量的模长：
- $\|\alpha_1\| = \sqrt{1^2+0^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$
- $\|\alpha_2\| = \sqrt{1^2+0^2+1^2} = \sqrt{2}$
- $\|\alpha_3\| = \sqrt{0^2+1^2+0^2} = 1$
单位化得：
$$u_1 = \frac{\alpha_1}{\|\alpha_1\|} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}},0,-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^\mathrm{T}$$
$$u_2 = \frac{\alpha_2}{\|\alpha_2\|} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^\mathrm{T}$$
$$u_3 = \frac{\alpha_3}{\|\alpha_3\|} = (0,1,0)^\mathrm{T}$$
由于原特征向量已正交，单位化后得到的 $u_1,u_2,u_3$ 构成一组标准正交基。将它们按列排列，即得正交矩阵：
$$Q = [u_1,u_2,u_3] = \begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
-\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0
\end{pmatrix}$$
验证 $Q$ 的正交性：计算 $Q^\mathrm{T}Q$，
$$Q^\mathrm{T}Q = \begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
-\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$$
因此 $Q$ 是正交矩阵，满足 $Q^\mathrm{T}=Q^{-1}$。
公式：$$u_i = \frac{\alpha_i}{\|\alpha_i\|},\quad Q = [u_1,u_2,u_3]$$
提示：单位化前先确认特征向量已正交；构造正交矩阵时按列排列，并验证 $Q^\mathrm{T}Q=I$。
目标：利用谱分解计算矩阵A
已知矩阵 $A$ 的谱分解为 $A = Q \operatorname{diag}(-1, 1, 0) Q^{\mathrm{T}}$，其中 $Q$ 是由特征向量构成的正交矩阵。由前几步已得 $Q$ 的具体形式（例如 $Q = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ 或根据题目实际计算出的正交矩阵），代入谱分解表达式。
首先写出对角矩阵 $\Lambda = \operatorname{diag}(-1, 1, 0) = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。
计算 $A = Q \Lambda Q^{\mathrm{T}}$。设 $Q = (\boldsymbol{q}_1, \boldsymbol{q}_2, \boldsymbol{q}_3)$，则谱分解的另一种形式为 $A = (-1)\boldsymbol{q}_1\boldsymbol{q}_1^{\mathrm{T}} + 1\cdot\boldsymbol{q}_2\boldsymbol{q}_2^{\mathrm{T}} + 0\cdot\boldsymbol{q}_3\boldsymbol{q}_3^{\mathrm{T}} = -\boldsymbol{q}_1\boldsymbol{q}_1^{\mathrm{T}} + \boldsymbol{q}_2\boldsymbol{q}_2^{\mathrm{T}}$。
根据题目已知条件（或前几步结果），特征向量为：
$\boldsymbol{q}_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1)^{\mathrm{T}}$ 对应特征值 $-1$；
$\boldsymbol{q}_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1)^{\mathrm{T}}$ 对应特征值 $1$；
$\boldsymbol{q}_3 = (0,1,0)^{\mathrm{T}}$ 对应特征值 $0$。
计算外积：
$$\boldsymbol{q}_1\boldsymbol{q}_1^{\mathrm{T}} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} (1,0,-1) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix},$$
$$\boldsymbol{q}_2\boldsymbol{q}_2^{\mathrm{T}} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} (1,0,1) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$
代入得：
$$A = -\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} -1+1 & 0 & 1+1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1+1 & 0 & -1+1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$
因此，矩阵 $A$ 为 $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。验证：该矩阵的特征值为 $-1,1,0$，且特征向量与给定的一致，说明计算正确。
公式：$$A = Q \operatorname{diag}(-1,1,0) Q^{\mathrm{T}} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
提示：利用谱分解时，直接按特征值加权求和外积，避免直接乘正交矩阵，减少计算量。