2013年考研数学一第1题
📝 题目
已知极限 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{x-\arctan x}{x^{k}}=c$ ，其中 $k, c$ 为常数，且 $c \neq 0$ ，则（ ）
A
$k=2, c=-\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
B
$k=2, c=\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
C
$k=3, c=-\displaystyle \frac{1}{3}$ ．
D
$k=3, c=\displaystyle \frac{1}{3}$ 。
💡 答案解析
**答案**: （D）．
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**解析**:
方法一 由洛必达法则，得
$$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\arctan x}{x^{k}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\frac{1}{1+x^{2}}}{k x^{k-1}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{k\left(1+x^{2}\right) x^{k-1}}=\frac{1}{k} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{x^{k-1}}, $$
于是 $k-1=2$ ，即 $k=3$ ，且 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{x-\arctan x}{x^{k}}=\displaystyle\frac{1}{3}$ ，应选（D）．
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别极限类型并应用洛必达法则
首先分析极限 $\lim_{x \to 0} \frac{x - \arctan x}{x^k}$ 的类型。当 $x \to 0$ 时，分子 $x - \arctan x$ 趋向于 $0 - 0 = 0$，分母 $x^k$ 也趋向于 $0$（因为 $k > 0$），因此该极限为 $\frac{0}{0}$ 型未定式。对于 $\frac{0}{0}$ 型未定式，在满足洛必达法则的条件下（分子分母在 $x=0$ 的某去心邻域内可导，且分母导数不为零），可以对分子分母分别求导。
对分子求导：$\frac{d}{dx}(x - \arctan x) = 1 - \frac{1}{1 + x^2}$。化简得 $1 - \frac{1}{1 + x^2} = \frac{1 + x^2 - 1}{1 + x^2} = \frac{x^2}{1 + x^2}$。
对分母求导：$\frac{d}{dx}(x^k) = k x^{k-1}$。
因此，应用洛必达法则后，原极限转化为：
$$\lim_{x \to 0} \frac{x - \arctan x}{x^k} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{1 + x^2}}{k x^{k-1}} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{k x^{k-1} (1 + x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{x^{3-k}}{k (1 + x^2)}.$$
此时，新的极限形式取决于指数 $3-k$ 的符号。若 $3-k > 0$，则分子仍趋于 $0$，极限为 $0$；若 $3-k = 0$，则分子趋于常数 $1$，极限为 $\frac{1}{k}$；若 $3-k < 0$，则分子趋于无穷大，极限为无穷大。这一步的关键是正确求导并化简，为后续讨论 $k$ 的取值做好准备。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{x - \arctan x}{x^k} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{1}{1+x^2}}{k x^{k-1}} = \lim_{x \to 0} \frac{x^{3-k}}{k(1+x^2)}
提示：注意 $\arctan x$ 的导数是 $\frac{1}{1+x^2}$，化简分子导数时先通分再合并。
步骤 2/4
目标：化简求导后的表达式
在第一步中，我们已对极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x - x}{x^k}$ 应用了洛必达法则，得到：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x^2} - 1}{k x^{k-1}}$$
现在需要化简分子。分子为 $\frac{1}{1+x^2} - 1$，通分得：
$$\frac{1 - (1+x^2)}{1+x^2} = \frac{-x^2}{1+x^2}$$
因此极限变为：
$$\lim_{x \to 0} \frac{-x^2}{(1+x^2) \cdot k x^{k-1}} = \lim_{x \to 0} \frac{-x^2}{k x^{k-1} (1+x^2)}$$
合并 $x$ 的幂次：$x^2 / x^{k-1} = x^{2-(k-1)} = x^{3-k}$，所以：
$$\lim_{x \to 0} \frac{-x^{3-k}}{k (1+x^2)}$$
当 $x \to 0$ 时，$1+x^2 \to 1$，因此极限进一步简化为：
$$\lim_{x \to 0} \frac{-x^{3-k}}{k}$$
至此，求导后的表达式已化简为关于 $x^{3-k}$ 的极限形式。
公式：$$\lim_{x \to 0} \frac{-x^{3-k}}{k}$$
提示：注意分子通分后为 $-x^2/(1+x^2)$，负号不要遗漏。
步骤 3/4
目标：确定k的值
由前一步化简得到的极限表达式为：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{1}{k} \cdot \frac{x^2}{x^{k-1}} = \frac{1}{k} \lim_{x \to 0} x^{2-(k-1)} = \frac{1}{k} \lim_{x \to 0} x^{3-k}.
$$
要使该极限存在且为非零常数，必须使得$x$的指数$3-k$等于0，即$x^{3-k} \to x^0 = 1$，从而极限值为$\frac{1}{k}$。若$3-k > 0$，则极限为0；若$3-k < 0$，则极限为无穷大，均不符合题意。
因此，令$3-k = 0$，解得$k = 3$。此时极限值为$\frac{1}{3}$，为非零常数。
公式：$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{k} \cdot \frac{x^2}{x^{k-1}} = \frac{1}{k} \lim_{x \to 0} x^{3-k}$$
提示：比较分子分母幂次时，注意化简后指数为$3-k$，令其等于0即可。
步骤 4/4
目标：计算常数c
由前一步骤已知，当 $k=3$ 时，极限存在且非零。将 $k=3$ 代入原极限表达式，并利用等价无穷小代换：当 $x \to 0$ 时，$\ln(1+x) \sim x$，$\sin x \sim x$，$\tan x \sim x$，$\arcsin x \sim x$，$\arctan x \sim x$，$1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2$，$e^x-1 \sim x$，$\ln(1+x) \sim x$ 等。具体地，
$$\lim_{x \to 0} \frac{\int_0^{x} \ln(1+t^2) \, dt}{x^3} = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}.$$
因为被积函数 $\ln(1+t^2) \sim t^2$（当 $t \to 0$），所以 $\int_0^x \ln(1+t^2) \, dt \sim \int_0^x t^2 \, dt = \frac{x^3}{3}$，故极限值为 $\frac{1}{3}$。
由题设，该极限等于常数 $c$，因此 $c = \frac{1}{3}$。
对照选项，$\frac{1}{3}$ 对应选项 D。
**最终答案验证**：将 $c=\frac{1}{3}$ 代入原极限，计算得 $\lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x \ln(1+t^2) \, dt}{x^3} = \frac{1}{3}$，与 $c$ 相等，结果正确。
公式：c = \lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x \ln(1+t^2) \, dt}{x^3} = \frac{1}{3}
提示：代入k值后，利用等价无穷小简化积分，再求极限即可得c。
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