2004年考研数学一第8题

由题设条件 $f'(0) > 0$，根据导数的定义，函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的导数定义为极限： $$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x}.$$ 由于 $f'(0) > 0$，因此有 $$\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} > 0.$$ 这个极限式表明，当 $x$ 充分接近 $0$ 时（但不等于 $0$），差商 $\frac{f(x) - f(0)}{x}$ 的符号与极限的符号一致。具体来说，存在一个邻域 $(-\delta, 0) \cup (0, \delta)$，使得在该邻域内，差商保持正号。 进一步分析： - 当 $x > 0$ 且 $x$ 充分小时，分母为正，因此分子 $f(x) - f(0)$ 也必须为正，即 $f(x) > f(0)$。 - 当 $x < 0$ 且 $|x|$ 充分小时，分母为负，因此分子 $f(x) - f(0)$ 必须为负，即 $f(x) < f(0)$。 这说明在 $x=0$ 的右侧附近，函数值大于 $f(0)$；在左侧附近，函数值小于 $f(0)$。因此 $x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点，但这一结论将在后续步骤中结合其他条件进一步讨论。本步骤的核心是准确写出导数定义的极限表达式，并理解其蕴含的局部符号信息。

已知极限 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x} = A > 0$。根据极限的保号性（局部保号性），若极限值大于零，则存在一个去心邻域，使得在该邻域内函数值与极限同号。具体地，由 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x} = A > 0$，取 $\varepsilon = \frac{A}{2} > 0$，则存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x| < \delta$ 时，有 $$ \left| \frac{f(x)-f(0)}{x} - A \right| < \frac{A}{2}. $$ 由此可得 $$ A - \frac{A}{2} < \frac{f(x)-f(0)}{x} < A + \frac{A}{2}, $$ 即 $$ \frac{A}{2} < \frac{f(x)-f(0)}{x} < \frac{3A}{2}. $$ 由于 $A > 0$，故 $\frac{A}{2} > 0$，因此当 $0 < |x| < \delta$ 时，有 $$ \frac{f(x)-f(0)}{x} > 0. $$ 这个不等式表明：在 $x=0$ 的某去心邻域内，差商 $\frac{f(x)-f(0)}{x}$ 恒为正。接下来，我们需要根据 $x$ 的正负来讨论 $f(x)-f(0)$ 的符号。

由步骤2已知，存在某个去心邻域$\mathring{U}(0,\delta)$，使得当$0<|x|<\delta$时，差商$\frac{f(x)-f(0)}{x}>0$。现在需要根据$x$的正负分别讨论$f(x)$与$f(0)$的大小关系。\n\n**情况一：右邻域**\n当$x\in(0,\delta)$时，$x>0$。由于分母为正，不等式$\frac{f(x)-f(0)}{x}>0$两边同乘以正数$x$，不等号方向不变，得到$f(x)-f(0)>0$，即$f(x)>f(0)$。这说明在$0$的右侧附近，函数值均大于$f(0)$。\n\n**情况二：左邻域**\n当$x\in(-\delta,0)$时，$x<0$。此时分母为负，不等式$\frac{f(x)-f(0)}{x}>0$两边同乘以负数$x$，不等号方向反转，得到$f(x)-f(0)<0$，即$f(x)f(0)$。这一性质表明$f(0)$既不是极大值也不是极小值，因为极大值要求两侧都小于它，极小值要求两侧都大于它，而这里两侧大小关系相反。因此，$x=0$不是极值点。

根据前几步的分析，已知函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且 $f'(0)>0$。由导数的定义： $$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}>0$$ 根据极限的保号性，存在一个 $δ>0$，使得当 $0<|x|<δ$ 时，有 $$\frac{f(x)-f(0)}{x}>0$$ 现在分别考虑 $x$ 的正负情况： - 当 $00$，因此分子 $f(x)-f(0)>0$，即 $f(x)>f(0)$。 - 当 $-δ0$，对任意 $x\in(0,δ)$ 有 $f(x)>f(0)$。这正是我们推导出的结论，故选项A正确。 - **选项B**：存在 $δ>0$，对任意 $x\in(0,δ)$ 有 $f(x)0$，对任意 $x\in(-δ,0)$ 有 $f(x)>f(0)$。由上述分析，当 $x$ 为负时 $f(x)0$，对任意 $x\in(-δ,0)\cup(0,δ)$ 有 $f(x)>f(0)$。这要求 $x$ 在0两侧都大于 $f(0)$，但负侧不满足，故选项D错误。 因此，只有选项A正确。注意：题目步骤目标中给出的“选项C正确”与本题实际结论不符，请以本题推导为准。最终答案为A。