2014年考研数学一第11题

原方程为 $xy' + y(\ln x - \ln y) = 0$。首先将方程中的对数项合并：$\ln x - \ln y = \ln\frac{x}{y}$，因此方程化为 $$xy' + y\ln\frac{x}{y} = 0.$$ 将 $xy'$ 项保留，其余项移到等号右边：$$xy' = -y\ln\frac{x}{y}.$$ 两边同时除以 $x$（假设 $x \neq 0$），得到 $$y' = -\frac{y}{x}\ln\frac{x}{y}.$$ 为了将导数项写成标准形式，将 $y'$ 写为 $\frac{dy}{dx}$，并整理为 $$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x}\ln\frac{x}{y} = 0.$$ 注意，$\ln\frac{x}{y} = -\ln\frac{y}{x}$，因此也可以写成 $$\frac{dy}{dx} - \frac{y}{x}\ln\frac{y}{x} = 0.$$ 观察方程中 $\frac{y}{x}$ 的结构，可知该方程是齐次微分方程（因为方程可化为 $\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right)$ 的形式）。至此，已将原方程变形为齐次形式，为下一步令 $u = \frac{y}{x}$ 进行变量代换做好准备。

由于原方程 $x \frac{dy}{dx} = y \ln \frac{y}{x}$ 是齐次微分方程，我们引入变量代换 $u = \frac{y}{x}$。由 $u = \frac{y}{x}$ 可得 $y = ux$。对 $x$ 求导，利用乘积法则： $$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(u x) = u + x \frac{du}{dx}.$$ 将 $y = ux$ 和 $\frac{dy}{dx} = u + x \frac{du}{dx}$ 代入原方程： $$x \left( u + x \frac{du}{dx} \right) = (ux) \ln \frac{ux}{x}.$$ 左边展开为 $xu + x^2 \frac{du}{dx}$，右边化简为 $ux \ln u$。于是方程化为： $$xu + x^2 \frac{du}{dx} = ux \ln u.$$ 两边同时减去 $xu$： $$x^2 \frac{du}{dx} = ux \ln u - xu = xu (\ln u - 1).$$ 两边同时除以 $x^2$（假设 $x \neq 0$）： $$\frac{du}{dx} = \frac{u (\ln u - 1)}{x}.$$ 整理为标准形式： $$\frac{du}{dx} - \frac{u \ln u}{x} + \frac{u}{x} = 0.$$ 更简洁地，将原方程直接代入 $y=ux$ 和 $dy/dx = u + x du/dx$ 后，得到： $$u + x \frac{du}{dx} - u \ln u = 0,$$ 即 $$x \frac{du}{dx} = u \ln u - u = u(\ln u - 1).$$ 这样就完成了变量代换，将原方程转化为关于 $u$ 和 $x$ 的可分离变量方程。

由前一步得到的方程 $\frac{du}{dx} = \frac{u(\ln u - 1)}{x}$，我们将其改写为分离变量的形式。将含有 $u$ 的项移到左边，含有 $x$ 的项移到右边，得到： $$\frac{du}{u(\ln u - 1)} = \frac{dx}{x}$$ 此时变量已分离。接下来对两边分别积分： 左边积分：$\int \frac{du}{u(\ln u - 1)}$，右边积分：$\int \frac{dx}{x}$。 对于左边，令 $t = \ln u$，则 $dt = \frac{1}{u} du$，于是左边化为 $\int \frac{dt}{t - 1} = \ln|t - 1| + C_1 = \ln|\ln u - 1| + C_1$。 右边积分：$\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C_2$。 合并常数，得到： $$\ln|\ln u - 1| = \ln|x| + \ln|C|$$ 其中 $\ln|C| = C_2 - C_1$ 为任意常数。利用对数性质，上式等价于： $$\ln|\ln u - 1| = \ln|Cx|$$ 去掉对数，得到： $$|\ln u - 1| = |Cx|$$ 由于 $C$ 为任意常数，可去掉绝对值符号，写成： $$\ln u - 1 = Cx$$ 至此，完成了分离变量并积分的过程，得到了 $u$ 与 $x$ 的隐式关系。

本步骤的目标是将上一步得到的中间结果回代到原变量，从而得到微分方程的通解。上一步我们已经得到关系式 $\ln u = Cx + 1$，其中 $u = \frac{y}{x}$ 是引入的中间变量，$C$ 为任意常数。 首先，由 $\ln u = Cx + 1$，两边取指数（以 $e$ 为底），得到 $u = e^{Cx + 1}$。注意，这里 $e^{Cx+1} = e^{Cx} \cdot e^1 = e \cdot e^{Cx}$，但通常保留为 $e^{Cx+1}$ 的形式即可，因为常数 $e$ 可以合并到任意常数中。 接下来，回代 $u = \frac{y}{x}$，即 $\frac{y}{x} = e^{Cx + 1}$。两边同时乘以 $x$（注意 $x \neq 0$，因为原方程中 $x$ 出现在分母，且 $x=0$ 可能为奇点，需单独考虑），得到 $y = x \cdot e^{Cx + 1}$。 因此，原微分方程的通解为 $y = x e^{Cx + 1}$，其中 $C$ 为任意常数。这个解可以进一步写成 $y = e \cdot x e^{Cx}$，但通常保留原形式。 至此，我们完成了回代步骤，得到了通解表达式。下一步将进行解的验证或讨论特解情况。

我们已经得到微分方程的通解为 $y = x e^{Cx + 1}$，其中 $C$ 是任意常数。现在利用初始条件 $y(1) = e^3$ 来确定常数 $C$。将 $x=1$ 和 $y=e^3$ 代入通解表达式： $$e^3 = 1 \cdot e^{C \cdot 1 + 1} = e^{C+1}.$$ 由于指数函数是单射函数，两边取自然对数得 $3 = C + 1$，解得 $C = 2$。因此，满足初始条件的特解为 $$y = x e^{2x + 1}.$$ 验证：当 $x=1$ 时，$y = 1 \cdot e^{2 \cdot 1 + 1} = e^3$，符合初始条件。至此，我们得到了原微分方程在给定初始条件下的特解。