2014年考研数学一第16题
📝 题目
设函数 $y=f(x)$ 由方程 $y^{3}+x y^{2}+x^{2} y+6=0$ 确定，求 $f(x)$ 的极值．
💡 答案解析
$y^{3}+x y^{2}+x^{2} y+6=0$ 两边对 $x$ 求导得
$$ 3 y^{2} \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+y^{2}+2 x y \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+2 x y+x^{2} \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}=0 $$
令 $\displaystyle\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=0$ 得 $y=-2 x$ 或 $y=0$（不适合原方程，舍去）， 将 $y=-2 x$ 代人原方程得 $\left\{\begin{array}{l}x=1, \\ y=-2 .\end{array}\right.$ $3 y^{2} \displaystyle\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+y^{2}+2 x y \displaystyle\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+2 x y+x^{2} \displaystyle\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}=0$ 两边再对 $x$ 求导整理得
$$ \left(3 y^{2}+2 x y+x^{2}\right) y^{\prime \prime}+2(x+3 y) y^{\prime 2}+4(x+y) y^{\prime}+2 y=0 $$
将 $\left\{\begin{array}{l}x=1, \\ y=-2\end{array}\right.$ 代人得 $\displaystyle\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=\displaystyle\frac{4}{9}>0$ ，故 $x=1$ 为函数 $y=f(x)$ 极小值点，极小值为 $y=-2$ ． （17） 【解】 $\displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}=\mathrm{e}^{x} \cos y \cdot f^{\prime}, \quad \displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}=-\mathrm{e}^{x} \sin y \cdot f^{\prime}$ ，
$$ \begin{aligned} & \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=\mathrm{e}^{x} \cos y \cdot f^{\prime}+\mathrm{e}^{2 x} \cos ^{2} y \cdot f^{\prime \prime}, \quad \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=-\mathrm{e}^{x} \cos y \cdot f^{\prime}+\mathrm{e}^{2 x} \sin ^{2} y \cdot f^{\prime \prime} \\ & \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=\mathrm{e}^{2 x} f^{\prime \prime} \end{aligned} $$
令 $u=\mathrm{e}^{x} \cos y$ ，由 $\displaystyle\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\displaystyle\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=\left(4 z+\mathrm{e}^{x} \cos y\right) \mathrm{e}^{2 x}$ 得
$$ f^{\prime \prime}(u)=4 f(u)+u \text {, 或 } f^{\prime \prime}(u)-4 f(u)=u \text {, } $$
解得 $f(u)=C_{1} \mathrm{e}^{-2 u}+C_{2} \mathrm{e}^{2 u}-\displaystyle\frac{1}{4} u$ ， 由 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$ 得 $\left\{\begin{array}{l}C_{1}+C_{2}=0, \\ -2 C_{1}+2 C_{2}-\displaystyle\frac{1}{4}=0,\end{array}\right.$ 解得 $C_{1}=-\displaystyle\frac{1}{16}, C_{2}=\displaystyle\frac{1}{16}$ ， 故 $f(u)=\displaystyle\frac{1}{16}\left(\mathrm{e}^{2 u}-\mathrm{e}^{-2 u}\right)-\displaystyle\frac{1}{4} u$ ．
## 方法点评：本题考查偏导数与二阶常系数非齐次线性微分方程。
偏导数与微分方程结合问题是一种综合和重要的题型，首先按题目要求计算出相应的偏导数，根据给定的等量关系式将偏导数代入等式中，整理得微分方程，再根据微分方程的类型对微分方程求解。