2014年考研数学一第1题

渐近线是描述曲线在无穷远处或某点附近趋向的直线，分为水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线三种。 **1. 水平渐近线**：若函数$f(x)$满足$\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$或$\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$（$L$为有限常数），则直线$y = L$为曲线$y = f(x)$的一条水平渐近线。注意：当$x \to +\infty$和$x \to -\infty$时极限可能不同，需分别考虑。 **2. 垂直渐近线**：若存在常数$a$，使得$\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty$或$\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty$，则直线$x = a$为曲线$y = f(x)$的一条垂直渐近线。通常$a$为函数无定义的点（分母为零的点或间断点）。 **3. 斜渐近线**：若$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = k$（$k \neq 0$且有限），且$\lim_{x \to +\infty} [f(x) - kx] = b$（$b$有限），则直线$y = kx + b$为曲线$y = f(x)$当$x \to +\infty$时的斜渐近线。类似地可考虑$x \to -\infty$。 **判定顺序**：通常先检查垂直渐近线（找无定义点），再检查水平渐近线（看无穷远极限），若水平渐近线不存在（极限为无穷或不存在），则考虑斜渐近线。注意：同一方向（$x \to +\infty$或$x \to -\infty$）上，水平渐近线和斜渐近线不能同时存在。 **示例**：对于函数$f(x) = \frac{x^2}{x-1}$，有垂直渐近线$x=1$（因为分母为零且分子非零），且$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 1$，$\lim_{x \to \infty} [f(x) - x] = 1$，故斜渐近线为$y = x+1$。

选项A为函数 $y = x + \sin x$。首先检查水平渐近线：当 $x \to \infty$ 时，$\sin x$ 在 $[-1,1]$ 之间振荡，极限不存在，因此无水平渐近线。其次检查垂直渐近线：函数定义域为 $(-\infty, +\infty)$，且无分母为零的点，故无垂直渐近线。最后检查斜渐近线：设斜渐近线方程为 $y = kx + b$，其中 $k = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{y}{x}$，$b = \lim\limits_{x \to \infty} (y - kx)$。计算 $k = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{x + \sin x}{x} = \lim\limits_{x \to \infty} \left(1 + \frac{\sin x}{x}\right) = 1$。再计算 $b = \lim\limits_{x \to \infty} (x + \sin x - 1 \cdot x) = \lim\limits_{x \to \infty} \sin x$，该极限不存在（振荡）。因此斜渐近线不存在。综上，选项A无渐近线。

选项B为函数 $y = x^2 + \sin x$。首先判断是否存在水平渐近线。由于当 $x \to \infty$ 时，$x^2 \to \infty$，而 $\sin x$ 有界，因此 $y \to \infty$，故不存在水平渐近线。其次判断是否存在垂直渐近线。函数 $y = x^2 + \sin x$ 在全体实数上连续，无定义间断点，因此不存在垂直渐近线。最后判断是否存在斜渐近线。斜渐近线的斜率 $k = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^2 + \sin x}{x} = \lim\limits_{x \to \infty} \left( x + \frac{\sin x}{x} \right) = \infty$，因为 $x \to \infty$ 时 $x$ 趋于无穷，而 $\frac{\sin x}{x} \to 0$。由于斜率 $k$ 不存在有限值，故无斜渐近线。综上，选项B没有渐近线。

对于选项C：$y = x + \sin\frac{1}{x}$，我们分析其渐近线。 首先考虑水平渐近线：当$x \to \infty$时，$\sin\frac{1}{x} \to 0$，因此$y \to x$，但$y$并不趋于一个常数，故不存在水平渐近线。当$x \to 0$时，$\sin\frac{1}{x}$振荡无极限，但$x$本身趋于0，因此$y$也不趋于常数，无水平渐近线。 其次考虑垂直渐近线：函数在$x=0$处无定义，但$x \to 0$时，$x \to 0$而$\sin\frac{1}{x}$有界，故$y \to 0$，不趋于无穷，因此无垂直渐近线。 最后考虑斜渐近线：设斜渐近线为$y = kx + b$，其中 $$k = \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin\frac{1}{x}}{x} = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{\sin\frac{1}{x}}{x}\right) = 1,$$ $$b = \lim_{x \to \infty} (y - kx) = \lim_{x \to \infty} \left(x + \sin\frac{1}{x} - x\right) = \lim_{x \to \infty} \sin\frac{1}{x} = 0.$$ 因此存在斜渐近线$y = x$。 综上，选项C有斜渐近线$y=x$。

首先分析选项D：$y = x^2 + \sin\frac{1}{x}$。 **1. 水平渐近线**：当$x \to \infty$时，$x^2 \to \infty$，而$\sin\frac{1}{x}$有界（$|\sin\frac{1}{x}| \leq 1$），因此$y \to \infty$，不存在有限极限，故无水平渐近线。 **2. 垂直渐近线**：函数在$x=0$处无定义，考虑$x \to 0$。当$x \to 0$时，$\frac{1}{x} \to \infty$，$\sin\frac{1}{x}$振荡无极限，但$x^2 \to 0$，因此$y$在$0$附近振荡但趋于$0$（因为$x^2$是无穷小，乘以有界量仍为无穷小），故$x=0$不是垂直渐近线。 **3. 斜渐近线**：设斜渐近线为$y = kx + b$，则$k = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^2 + \sin\frac{1}{x}}{x} = \lim\limits_{x \to \infty} \left( x + \frac{\sin\frac{1}{x}}{x} \right) = \infty$，故$k$不存在，无斜渐近线。 因此选项D没有渐近线。 **综合四个选项**： - A：$y = x + \sin\frac{1}{x}$有斜渐近线$y=x$。 - B：$y = x^2 + \sin x$无渐近线。 - C：$y = \sin\frac{1}{x}$有水平渐近线$y=0$。 - D：$y = x^2 + \sin\frac{1}{x}$无渐近线。 只有选项C有渐近线，故正确答案为C。