2014年考研数学一第22题

首先，由全概率公式，随机变量$Y$的分布函数$F_Y(y)=P\{Y\le y\}$可以表示为： $$F_Y(y)=P\{X=1\}P\{Y\le y\mid X=1\}+P\{X=2\}P\{Y\le y\mid X=2\}.$$ 根据题目条件，$X$服从两点分布，且$P\{X=1\}=P\{X=2\}=\frac{1}{2}$。代入上式得： $$F_Y(y)=\frac{1}{2}P\{Y\le y\mid X=1\}+\frac{1}{2}P\{Y\le y\mid X=2\}.$$ 记$F_{Y\mid X=1}(y)=P\{Y\le y\mid X=1\}$，$F_{Y\mid X=2}(y)=P\{Y\le y\mid X=2\}$，则 $$F_Y(y)=\frac{1}{2}\left[F_{Y\mid X=1}(y)+F_{Y\mid X=2}(y)\right].$$ 接下来需要根据$X$的不同取值，确定$Y$的条件分布，从而写出$F_{Y\mid X=1}(y)$和$F_{Y\mid X=2}(y)$的具体表达式。

根据题目条件，随机变量$X$的取值为1和2，且已知在$X=1$的条件下，$Y$服从区间$(0,1)$上的均匀分布，即$Y|X=1 \sim U(0,1)$；在$X=2$的条件下，$Y$服从区间$(0,2)$上的均匀分布，即$Y|X=2 \sim U(0,2)$。 对于均匀分布$U(a,b)$，其分布函数为： $$F(y) = \begin{cases} 0, & y < a \\ \frac{y-a}{b-a}, & a \le y < b \\ 1, & y \ge b \end{cases}$$ 因此，当$X=1$时，$a=0$，$b=1$，条件分布函数为： $$F_{Y|X}(y|1) = P\{Y \le y | X=1\} = \begin{cases} 0, & y < 0 \\ y, & 0 \le y < 1 \\ 1, & y \ge 1 \end{cases}$$ 当$X=2$时，$a=0$，$b=2$，条件分布函数为： $$F_{Y|X}(y|2) = P\{Y \le y | X=2\} = \begin{cases} 0, & y < 0 \\ \frac{y}{2}, & 0 \le y < 2 \\ 1, & y \ge 2 \end{cases}$$ 综上，给定$X$下的条件分布函数为： $$F_{Y|X}(y|x) = \begin{cases} 0, & y < 0 \\ y, & 0 \le y < 1,\; x=1 \\ \frac{y}{2}, & 0 \le y < 2,\; x=2 \\ 1, & y \ge 1 \text{ 且 } x=1 \text{ 或 } y \ge 2 \text{ 且 } x=2 \end{cases}$$

根据全概率公式，随机变量$Y$的分布函数为$F_Y(y)=P\{Y\le y\}=P\{X=1\}P\{Y\le y\mid X=1\}+P\{X=2\}P\{Y\le y\mid X=2\}$。已知$P\{X=1\}=P\{X=2\}=\frac{1}{2}$。 首先考虑$y<0$的情况。由于$Y$在给定$X=1$时服从$U[0,1]$，在给定$X=2$时服从$U[0,2]$，因此当$y<0$时，$P\{Y\le y\mid X=1\}=0$，$P\{Y\le y\mid X=2\}=0$。代入得$F_Y(y)=\frac{1}{2}\cdot0+\frac{1}{2}\cdot0=0$。 其次考虑$0\le y<1$的情况。当$0\le y<1$时，对于$X=1$，$Y$在$[0,1]$上均匀分布，故$P\{Y\le y\mid X=1\}=y$。对于$X=2$，$Y$在$[0,2]$上均匀分布，故$P\{Y\le y\mid X=2\}=\frac{y}{2}$。代入全概率公式得： $$F_Y(y)=\frac{1}{2}\cdot y+\frac{1}{2}\cdot\frac{y}{2}=\frac{y}{2}+\frac{y}{4}=\frac{3y}{4}.$$ 因此，分段结果为： $$F_Y(y)=\begin{cases}0, & y<0,\\\frac{3y}{4}, & 0\le y<1.\end{cases}$$ 注意，$y\ge1$的情况将在后续步骤中继续讨论。

由全概率公式，$Y$的分布函数为$F_Y(y)=P\{Y\le y\}=P\{X=1\}P\{Y\le y\mid X=1\}+P\{X=2\}P\{Y\le y\mid X=2\}$。已知$P\{X=1\}=P\{X=2\}=\frac12$。 **当$1\le y<2$时：** - 给定$X=1$，$Y$在$[0,1]$上均匀分布，故$P\{Y\le y\mid X=1\}=1$（因为$y\ge1$，覆盖了整个区间）。 - 给定$X=2$，$Y$在$[0,2]$上均匀分布，故$P\{Y\le y\mid X=2\}=\frac{y}{2}$。 代入得： $$F_Y(y)=\frac12\cdot1+\frac12\cdot\frac{y}{2}=\frac12+\frac{y}{4}.$$ **当$y\ge2$时：** - 给定$X=1$，$Y\le y$必然成立（$Y$最大为1），故$P\{Y\le y\mid X=1\}=1$。 - 给定$X=2$，$Y\le y$也必然成立（$Y$最大为2），故$P\{Y\le y\mid X=2\}=1$。 代入得： $$F_Y(y)=\frac12\cdot1+\frac12\cdot1=1.$$ 综上，$Y$的分布函数为分段形式： $$F_Y(y)=\begin{cases} 0, & y<0,\\ \frac{y}{2}, & 0\le y<1,\\ \frac12+\frac{y}{4}, & 1\le y<2,\\ 1, & y\ge2. \end{cases}$$

根据前几步对随机变量$Y$在不同区间上的概率计算，综合各段结果得到分布函数$F_Y(y)=P(Y\leq y)$的分段表达式。 首先，当$y<0$时，$Y$不可能取到小于0的值，故$F_Y(y)=0$。 其次，当$0\leq y<1$时，$Y$的取值在$[0,y]$内，由之前计算可知$P(Y\leq y)=\frac{3y}{4}$。 再次，当$1\leq y<2$时，$Y$的取值包括两部分：$Y$在$[0,1)$内的概率（即$\frac{3}{4}$）加上$Y$在$[1,y]$内的概率。由之前计算，$P(Y\leq y)=\frac{1}{4}+\frac{y}{4}=\frac{y}{4}+\frac{1}{2}$（注意：当$y=1$时，$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$，与$0\leq y<1$段在$y=1$处的左极限$\frac{3}{4}$不相等，说明分布函数在$y=1$处有跳跃，但分段定义时右连续，故$1\leq y<2$段包含$y=1$点，取值为$\frac{1}{2}$）。 最后，当$y\geq 2$时，$Y$的所有可能取值均不超过$y$，故$F_Y(y)=1$。 因此，$Y$的分布函数分段表达式为： $$F_Y(y)=\begin{cases} 0, & y<0 \\ \dfrac{3y}{4}, & 0\leq y<1 \\ \dfrac{y}{4}+\dfrac{1}{2}, & 1\leq y<2 \\ 1, & y\geq 2 \end{cases}$$ 注意：该分布函数在$y=1$处有跳跃间断点，跳跃高度为$\frac{3}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，对应$Y$在$y=1$处的概率质量。

由步骤5已求得随机变量$Y$的分布函数为： $$F_Y(y) = \begin{cases} 0, & y < 0 \\ \frac{3}{4}y, & 0 \le y < 1 \\ \frac{1}{4}y + \frac{1}{2}, & 1 \le y < 2 \\ 1, & y \ge 2 \end{cases}$$ 概率密度函数$f_Y(y)$是分布函数$F_Y(y)$的导数（在连续点处）。我们需要对$F_Y(y)$在各分段区间内分别求导。 1. 当$y < 0$时，$F_Y(y) = 0$，故$f_Y(y) = 0$。 2. 当$0 < y < 1$时，$F_Y(y) = \frac{3}{4}y$，求导得$f_Y(y) = \frac{d}{dy}\left(\frac{3}{4}y\right) = \frac{3}{4}$。 3. 当$1 < y < 2$时，$F_Y(y) = \frac{1}{4}y + \frac{1}{2}$，求导得$f_Y(y) = \frac{d}{dy}\left(\frac{1}{4}y + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}$。 4. 当$y > 2$时，$F_Y(y) = 1$，故$f_Y(y) = 0$。 注意在分段点$y=0,1,2$处，分布函数不可导（存在角点），但概率密度函数在这些点上的取值不影响概率计算，通常可以任意定义，一般取$f_Y(y)=0$。 因此，$Y$的概率密度函数为： $$f_Y(y) = \begin{cases} \frac{3}{4}, & 0 < y < 1 \\ \frac{1}{4}, & 1 < y < 2 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$ 验证：密度函数在整个实数轴上的积分为 $$\int_{-\infty}^{\infty} f_Y(y) dy = \int_0^1 \frac{3}{4} dy + \int_1^2 \frac{1}{4} dy = \frac{3}{4} \times 1 + \frac{1}{4} \times 1 = 1$$ 满足概率密度函数的归一性。

由步骤6已求得随机变量$Y$的概率密度函数为： $$f_Y(y)=\begin{cases} \dfrac{3}{4}, & 0 \le y < 1 \\ \dfrac{1}{4}, & 1 \le y \le 2 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$$ 期望$E(Y)$的计算公式为： $$E(Y)=\int_{-\infty}^{\infty} y f_Y(y) \, dy$$ 由于$f_Y(y)$在$[0,1)$和$[1,2]$上分段非零，积分可分段进行： $$E(Y)=\int_0^1 y \cdot \frac{3}{4} \, dy + \int_1^2 y \cdot \frac{1}{4} \, dy$$ 先计算第一段积分： $$\int_0^1 \frac{3}{4}y \, dy = \frac{3}{4} \cdot \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^1 = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$$ 再计算第二段积分： $$\int_1^2 \frac{1}{4}y \, dy = \frac{1}{4} \cdot \left[ \frac{y^2}{2} \right]_1^2 = \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{8}$$ 将两部分相加： $$E(Y)=\frac{3}{8} + \frac{3}{8} = \frac{3}{4}$$ 因此，随机变量$Y$的数学期望为$\dfrac{3}{4}$。 【最终答案验证】 本题已全部完成，最终答案为$E(Y)=\dfrac{3}{4}$。