2005年考研数学一第11题

选择题 · 4分

📝 题目

设 $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ ，则 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}\right)$ 线性无关的充分必要条件是（）

$\lambda_{1} \neq 0$ ．

$\lambda_{2} \neq 0$ ．

$\lambda_{1}=0$ ．

$\lambda_{2}=0$ ．

💡 答案解析

**答案**: （B）．

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**解析**:

方法一因为矩阵的不同特征值对应的特征向量线性无关，所以 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 线性无关．由 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}=\lambda_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}=\lambda_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}$ ，得 $\boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}\right)=\lambda_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+\lambda_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 。 $\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}\right)\right)=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}\right)\left(\begin{array}{cc}1 & \lambda_{1} \\ 0 & \lambda_{2}\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}\right)$ 线性无关的充分必要条件是矩阵 $\left(\begin{array}{ll}1 & \lambda_{1} \\ 0 & \lambda_{2}\end{array}\right)$ 可逆，即 $\left|\begin{array}{ll}1 & \lambda_{1} \\ 0 & \lambda_{2}\end{array}\right| \neq 0$ ，故 $\lambda_{2} \neq 0$ ，应选（B）。方法二令 $k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2} \boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}\right)=\mathbf{0}$ ，由 $\boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}\right)=\lambda_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+\lambda_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}$ ，得 $k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2}\left(\lambda_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+\right. \left.\lambda_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}\right)=\mathbf{0}$ ，整理得 $\left(k_{1}+\lambda_{1} k_{2}\right) \boldsymbol{\alpha}_{1}+\lambda_{2} k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}=\mathbf{0}$ ．因为 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 线性无关，所以 $\left\{\begin{array}{l}k_{1}+\lambda_{1} k_{2}=0, \\ \lambda_{2} k_{2}=0,\end{array}\right.$ 于是 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}\right)$ 线性无关的充分必要条件是 $k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2} \boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}\right)=\mathbf{0}$ 当且仅当 $k_{1}=k_{2}=0$ ，即方程组 $\left\{\begin{array}{l}k_{1}+\lambda_{1} k_{2}=0 \text { ，只有零解，} \\ \lambda_{2} k_{2}=0\end{array}\right.$ ，于是 $\left|\begin{array}{ll}1 & \lambda_{1} \\ 0 & \lambda_{2}\end{array}\right| \neq 0$ ，故 $\lambda_{2} \neq 0$ ，应选（B）．

📋 详细解题步骤

步骤 2/4

目标：建立向量组的线性表示关系

已知 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关，且 $A\alpha_1 = \lambda_1 \alpha_1$，$A\alpha_2 = \lambda_2 \alpha_2$。我们需要将向量组 $(\alpha_1, A(\alpha_1+\alpha_2))$ 用基 $(\alpha_1, \alpha_2)$ 线性表示。首先，第一个向量 $\alpha_1$ 本身已经是基向量，因此它用基 $(\alpha_1, \alpha_2)$ 表示为： $$\alpha_1 = 1 \cdot \alpha_1 + 0 \cdot \alpha_2.$$ 其次，计算第二个向量 $A(\alpha_1+\alpha_2)$。由线性性质： $$A(\alpha_1+\alpha_2) = A\alpha_1 + A\alpha_2 = \lambda_1 \alpha_1 + \lambda_2 \alpha_2.$$ 因此，$A(\alpha_1+\alpha_2)$ 用基 $(\alpha_1, \alpha_2)$ 表示为： $$A(\alpha_1+\alpha_2) = \lambda_1 \cdot \alpha_1 + \lambda_2 \cdot \alpha_2.$$ 将这两个向量的系数按列排列，得到系数矩阵。第一列对应 $\alpha_1$ 的系数 $(1,0)^T$，第二列对应 $A(\alpha_1+\alpha_2)$ 的系数 $(\lambda_1, \lambda_2)^T$。因此系数矩阵为： $$\begin{pmatrix} 1 & \lambda_1 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}.$$ 这个矩阵反映了向量组 $(\alpha_1, A(\alpha_1+\alpha_2))$ 在基 $(\alpha_1, \alpha_2)$ 下的坐标表示，为后续判断线性相关性和计算秩提供了基础。

公式：$$\begin{pmatrix} \alpha_1, A(\alpha_1+\alpha_2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_1, \alpha_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & \lambda_1 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}$$

提示：注意系数矩阵的列对应每个向量在基下的坐标，行对应基向量的分量。

步骤 3/4

目标：转化为矩阵可逆性条件

由步骤2已得到向量组线性无关的充要条件为系数矩阵的行列式不为零。设向量组为 $\alpha_1 = (1, \lambda_1)^T$，$\alpha_2 = (0, \lambda_2)^T$，则它们线性无关当且仅当以这两个向量为列构成的矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \lambda_1 & \lambda_2 \end{pmatrix}$ 是可逆矩阵。矩阵可逆的充要条件是行列式 $\det(A) \neq 0$。计算行列式： $$\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ \lambda_1 & \lambda_2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \lambda_2 - \lambda_1 \cdot 0 = \lambda_2.$$ 因此，向量组线性无关的条件等价于 $\lambda_2 \neq 0$。注意，这里 $\lambda_1$ 可以取任意实数，因为无论 $\lambda_1$ 为何值，行列式只依赖于 $\lambda_2$。若 $\lambda_2 = 0$，则矩阵的第二列为零向量，两向量必然线性相关；若 $\lambda_2 \neq 0$，则矩阵满秩，两向量线性无关。

公式：$$\det\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \lambda_1 & \lambda_2 \end{pmatrix} = \lambda_2$$

提示：计算二阶行列式时注意对角线乘积相减，不要混淆符号。

步骤 4/4

目标：得出充要条件并选择答案

由前几步分析可知，矩阵$A$可相似对角化的充要条件是：对于每个特征值，其代数重数等于几何重数。对于特征值$\lambda_1 = 1$（二重根），其几何重数（即$\dim\ker(A - I)$）等于$2$当且仅当$\operatorname{rank}(A - I) = 1$。计算$A - I = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_2 - 1 \end{pmatrix}$，其秩为$1$当且仅当$\lambda_2 - 1 \neq 0$且第二行非零，即$\lambda_2 \neq 1$。对于特征值$\lambda_2$（单根），其几何重数自动为$1$，无需额外条件。因此，$A$可相似对角化的充要条件是$\lambda_2 \neq 1$。注意题目中$\lambda_2$是矩阵$A$的元素，而非特征值。实际上，矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}$的特征值为$1$（二重）和$\lambda_2$。当$\lambda_2 = 1$时，特征值$1$为三重根，此时$A - I = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，秩为$1$，几何重数为$2$，小于代数重数$3$，故不可对角化。当$\lambda_2 \neq 1$时，特征值$1$为二重根，几何重数为$2$，等于代数重数；特征值$\lambda_2$为单根，几何重数为$1$，故可对角化。因此充要条件为$\lambda_2 \neq 1$，对应选项(B)。

公式：\operatorname{rank}(A - I) = 1 \iff \lambda_2 \neq 1

提示：注意区分矩阵元素λ₂与特征值，代数重数等于几何重数是对角化的关键。

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